Journal of Space Science and Experiment >

2026 , Vol. 3 >Issue 3: 85 - 97

DOI: https://doi.org/10.19963/j.cnki.2097-4302.2026.03.008

Space Exploration

Influence of Rock Size on Rover Hopping and a Proposed Control Strategy

  • Hongda GE ,
  • Yonglong ZHANG , *
Expand
  • College of Aeronautics and Astronautics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China

Online published: 2026-07-22

Fold

Abstract

To address the difficulty of precisely controlling the hopping motion of an internal torque-driven rover on the rocky terrain of an asteroid’s surface, this paper conducts a study based on the dynamic model of the rover, combined with a terrain generation method using a power-law distribution. Simulations reveal that rock size has an irregular effect on the rover’s take-off characteristics. Furthermore, the influence of different take-off positions on a terrain of the same rock size can be even more significant than the influence of the rock size itself. Based on this conclusion, a "trial hop-calibration" control strategy is proposed. By performing a short-range trial hop, the linear relationship between the take-off velocity (vh) and the flywheel’s angular acceleration (β) is calibrated. This enables the precise calculation of the control input required to achieve a target jump distance, offering a new approach for the rover’s take-off control on complex asteroid terrains.

Key words： rocky terrain; bouncing rover; asteroid; hopping control; internal torque actuation

Cite this article

Hongda GE , Yonglong ZHANG . Influence of Rock Size on Rover Hopping and a Proposed Control Strategy[J]. Journal of Space Science and Experiment, 2026 , 3(3) : 85 -97 . DOI: 10.19963/j.cnki.2097-4302.2026.03.008

0 引 言

小行星被誉为“太阳系的活化石”，开展小行星探测对认识太阳系起源、生命起源、寻找行星演化规律、地球撞击防御，以及空间资源开发等都具有重要的科学与工程意义。随着航天技术的发展，近年来世界各主要航天国家及组织已经开展十余次小行星探测任务，其中日本“隼鸟”2（Hayabusa 2）和美国“冥王”（OSIRIS-REx）的小行星采样返回任务，以及美国的双小行星重定向测试小行星撞击任务[1-2]尤为引人注目，使小行星探测成为当前国际深空探测领域热点问题之一。2019年4月，我国航天局宣布了我国首个小行星探测任务。作为中国行星探测工程的第二次任务，其探测器“天问”二号已于2025年5月29日发射。该探测器先对近地小行星2016 HO3进行采样返回，再去探测一颗主带彗星。其整个任务周期约10年[3]。
为了获得高精度小行星表面地形图、精细的小行星组成材料性质及其相关科学数据，需将探测器下放到小行星表面进行探测。如果能实现小行星表面探测器较为精确的受控巡视，无疑将大幅推进人类对小行星的了解。小行星体积小、外形不规则，致使引力场较弱且分布不规则。因此，小行星表面探测涉及不规则弱引力环境下探测器与小行星表面未知复杂地形的接触这一难题；且通常而言，越接近小行星表面，小行星引力场建模误差越大。在实际工程中，小行星表面巡视探测的难度远大于绕飞或飞越小行星，尤其是在动力学与控制方面存在更大挑战。日本“隼鸟”2是至今为止唯一进行了小行星表面巡视探测的航天任务，但该任务中的巡视器仅能进行初步的巡视，无法实现对指定位置或指定路径的精确受控巡视。而且，该任务的目标小行星“龙宫”（Ryugu）属于陀螺形小行星，在小行星群体中形状较为规则，探测难度低于大多数不规则小行星。整体而言，人类对小行星表面的巡视探测仍然十分有限，有待进一步开展相关理论研究和工程实践。
国内外学者对小行星表面巡视探测动力学的研究起步于小行星表面质点动力学的研究，早期对小行星的建模较为简单，例如，将小行星建模为椭球[4]或立方体[5]来研究质点在小行星表面的运动。之后，学者们将小行星建模为均质多面体，对其表面质点动力学进行了较为充分的研究，包括对质点在小行星表面附近全局运动轨迹进行计算[6-7]、表面质点运动趋势[8-9]、起飞速度[10-11]、本体逃逸速度及弹跳可达域[12]、质点弹跳控制与轨迹优化[13-15]、表面质点着陆动力学[16]与控制[17-18]等。
但小行星表面探测器事实上都具有一定外形，用质点模型来进行研究存在过度简化的问题，无法模拟其在小行星表面的六自由度姿轨耦合运动。针对小行星表面探测器，Tardivel等[19]研究了球形探测器在多面体小行星表面的运动，实现了对探测器建模从质点到简单刚体的升级。哈尔滨工业大学的王飞[20]则在常值微重力和单点接触假设下，分别使用瞬间接触和连续接触赫兹模型。通过立方体在平面上着陆跳跃运动仿真模拟小行星表面探测器的运动。进一步，Van wal等[21]使用多面体对小行星表面非球形探测器建模，实现了任意外形探测器在小行星表面的运动仿真，极大地推动了小行星表面探测器运动仿真问题的研究。Wei和Shang[22]深入研究了探测器与小行星表面的粘弹性接触问题，提出了一种新的接触律。Zhang等[23]则应用基于连续接触的多面体接触模型，提出了一种新的探测器在小行星表面六自由度运动自适应步长全过程高效仿真方法，克服了Van wal等[21]在接触处理中使用理想刚性硬表面、常值恢复系数且假设每一时刻探测器与小行星最多只有一个点发生接触的局限性。
随着日本“隼鸟”2任务中简单表面巡视任务的开展，基于小行星表面探测器六自由度运动的研究，学者们对小行星表面探测器及其受控运动进行了相关探索。由于小行星表面地形复杂且引力微弱，如果仍然采用类似月球、火星等大天体上应用较多的轮式探测器，则会由于地形复杂和摩擦力不足而容易产生打滑或翻滚现象。而弹跳式探测器则由于其越障能力和结构简单，目前被公认为适合进行小行星表面探测[24]。
弹跳式探测器在天体探测中应用的想法可以追溯到1959年Oberth的研究[25]，但其真正首次在实际航天任务中的应用是苏联“火卫一”任务Phobos 2中的弹跳式巡视器PROP-F（该任务最终失败）[26]。PROP-F巡视器底座具有一个弹簧结构，通过弹簧的释放实现巡视器起跳，但这类通过探测器外部弹性部件释放的起跳方式，对起跳时探测器所处的地形条件和自身姿态有较高要求。此外，Tsumaki等[27]还提出利用材料在温度变化时发生形变的性质设计弹跳式探测器的方法，但这类通过环境变化实现起跳的方式无疑对探测器所处环境要求较高，可能仅适用于满足条件的特定小行星。目前，在小行星表面弹跳式探测器的研究和应用中，占比最高的是通过控制内部飞轮使探测器获得力矩的这种内力矩驱动弹跳式探测器。这类弹跳式探测器由Yoshimitsu等[28]提出，其内部携带反作用飞轮，利用飞轮在高转速状态下骤然刹车时对探测器壳体的反作用力矩，实现壳体在小行星表面加速旋转，同时小行星表面对其产生反作用接触力，使其从小行星表面跃起。由于小天体的弱引力特性，该模式足以使探测器在小行星表面弹跳发生可观的位移。此外，这种结构十分简单的内力矩驱动弹跳式探测器还可以通过内部飞轮实现自身姿态的控制，正是上述这些优势使得这类探测器十分适合用作小行星表面探测。因此，日本“隼鸟”和“隼鸟”2号均采用这种方式设计各自表面探测器（“隼鸟”为MINERVA巡视器；“隼鸟”2为MINERVA-II-1A、MINERVA-II-1B、MINERVA-II-2巡视器和MASCOT着陆器）。
对于内力矩驱动弹跳式小行星表面探测器，除了Yoshimitsu等[28-29]对这类探测器概念的提出和日本宇宙航空研究开发机构等工程团队实物的制作及实验外，为了优化小行星表面巡视探测效果，部分学者专门针对此类探测器的动力学问题开展研究。Hockman等[24]首先给出了这类探测器的6种运动模式，并指出实际工程中存在弹跳、翻滚、扭动这3种易于控制的运动模式。然后，基于探测器与地面不发生滑移、形变和刹车力矩（飞轮反作用力矩）在飞轮停转前为常值的假设下，研究了弹跳距离与起跳角度随刹车力矩大小的变化。Li等[30]基于考虑滑移和形变的单点接触模型，将刹车力矩看作常值，研究了刚度及摩擦系数对弹跳运动法向速度、切向速度和角速度的影响。Cheng等[31]则对这类探测器在小行星表面颗粒风化层上的起跳动力学问题进行研究，同样在刹车力矩为常值假设下，研究了力矩作用时间、颗粒黏附强度及摩擦系数对弹跳运动起跳速度和起跳角度的影响。张永隆[32]在博士论文中，基于探测器与复杂地表的多面体接触，并考虑飞轮刹车过程，建立了这类探测器从飞轮刹车到探测器起跳的全过程动力学模型，实现了探测器在石块地形上的精细化起跳仿真。
此外，基于这类探测器的简化动力学模型，一些学者对探测器的控制问题开展研究。Gajamohan等[33]和Muehlebach等[34]分别通过线性二次型调节器方法和线性比例-积分-微分控制方法对探测器进行角稳定控制。龚宇鹏等[35]给出了探测器滞空时对其姿态的反馈控制律；王云飞等[36]则提出用机器学习对探测器进行运动控制的方法，但该方法需要进行多次试跳来对神经网络进行训练。整体而言，对这类探测器的弹跳运动自主起跳控制，缺乏在实际任务中可行性较高的控制策略研究。
针对当前研究在动力学模型与地形影响认知上的局限性，本文针对内力矩驱动弹跳式探测器，基于探测器与复杂地表的多面体接触，并考虑飞轮刹车过程的探测器起跳过程仿真[32]，研究了探测器在石块地形起跳时石块大小对探测器起跳的影响，并结合探测器起跳过程中的控制变量和其它变量影响，提出了一种在实际任务中较为可行的探测器起跳控制策略。该研究揭示了复杂石块地形对探测器起跳的关键影响特性，所提出的控制策略也为后续探测任务中探测器在小行星表面复杂地形下的起跳控制提供了新思路与理论依据。

1 弹跳式探测器动力学模型

弹跳式探测器，尤其是内力矩驱动弹跳式探测器，目前而言是最适合的小行星表面探测器类型。这类探测器利用内部飞轮在高转速状态下骤然刹车时产生的反作用力矩，驱动探测器在小行星表面加速旋转；与此同时，小行星表面对其产生反作用接触力，使其从小行星表面跃起。对这种内力矩驱动弹跳式探测器从飞轮刹车到探测器起跳的过程进行动力学建模，可具体分为质心动力学建模与转动动力学建模两部分内容[32]。

1.1 内力矩驱动探测器起跳动力学模型

小行星表面刚体动力学包括质心动力学和转动动力学两部分内容。本文使用的两个参考系：一是小行星的本体固定坐标系O-XYZ，二是描述探测器运动的本体固定坐标系B-xyz，如图1所示。此外，内力矩驱动探测器及其移动概念如图2所示。
图 1 参考坐标系的定义（未经缩放）

Fig.1 The definition of the reference frames (not scaled)

图 2 内力矩驱动探测器及其运动概念

Fig.2 The internal-torque-actuated rover and its mobility concept

将探测器整体抽象为刚体，则当其在小行星表面附近运动时，其质心动力学方程在小行星本体坐标系O-XYZ下，可写为：
$ {\ddot{\boldsymbol{r}}}+2{\boldsymbol{\varOmega }}\times {\dot{\boldsymbol{r}}}+{\boldsymbol{\varOmega }}\times ({\boldsymbol{\varOmega }}\times \boldsymbol{r})=-\nabla {U}_{g}+\dfrac{{\boldsymbol{F}}_{\boldsymbol{c}}}{m} $
式中，r表示小行星质心指向探测器质心的位置矢量，Ω为小行星自转角速度矢量，$ \nabla $为梯度运算符，Ug为探测器质心所在位置处的小行星引力势，−$ \nabla $Ug项表示单位质量探测器所受的小行星引力，Fc为探测器受到小行星表面所提供接触力矢量，m为探测器质量。根据张永隆[32]在博士论文中的研究，分别对探测器和飞轮进行考虑，使模型更加精细化。此外，由于探测器通常比小行星小得多，因此忽略了重力扭矩。对于飞轮而言，其角加速度在实际工程中一般取决于刹车装置抱死的松紧程度。因此，在制动过程中，飞轮的角加速度可以假定为一个恒定值。一般而言，飞轮角速度的大小ωf可表示为：
$ {\omega }_{f}(t)=\begin{cases} {\omega }_{f0}-\beta t,0\leqslant t \lt {t}_{c}\\{\omega }_{f0}-\beta {t}_{c},t\geqslant {t}_{c}\end{cases} $
式中，ωf0为飞轮初始角速度大小（可由工程中常用飞轮转速计算而来），t为时间变量，β为飞轮刹车时的角加速度大小，tc为飞轮刹车时长，在实际中对应刹车装置抱死持续时间。如式（2）所示，飞轮相对探测器的角速度大小在刹车作用结束前为ωf0－βt，刹车作用结束后则保持为ωf0－βtc。通常情况下，飞轮初始角速度较大，探测器壳体角速度较小，刹车作用时间较短，刹车作用结束后飞轮角速度仍大于壳体角速度。然而，假设飞轮角速度ωf的大小减小到与探测器角速度ω的大小相同。在这种情况下，即使仍然存在刹车，飞轮将以相同的角速度与探测器一起旋转，直到探测器再次下降并接触表面。与探测器姿态相关的公式是在探测器的本体固定坐标系B-xyz下建立的，探测器的角速度ω用于跟踪姿态的变化，旋转动力学方程可表示为：
$ \boldsymbol{I}\dot{\boldsymbol{\omega }}+{\boldsymbol{I}}_{\boldsymbol{f}}{\mathbf{\dot{\boldsymbol{\omega }}}}_{\boldsymbol{f}}=-\boldsymbol{\omega }\times (\boldsymbol{I}\boldsymbol{\omega }+{\boldsymbol{I}}_{\boldsymbol{f}}{\boldsymbol{\omega }}_{\boldsymbol{f}})+{\boldsymbol{M}}_{c} $
式中，I和If分别为探测器和飞轮在探测器中心主轴坐标系中的惯性张量矩阵，Mc为探测器受到小行星表面所提供的接触力矩矢量，$ \mathbf{\dot{\boldsymbol{\omega }}} $为探测器的角加速度，$ {\mathbf{\dot{\boldsymbol{\omega }}}}_{\boldsymbol{f}} $为飞轮的角加速度。此外，式（3）可重写为：
$ \boldsymbol{I}\dot{\boldsymbol{\omega }}=-\boldsymbol{\omega }\times (\boldsymbol{I}\boldsymbol{\omega })+{\boldsymbol{M}}_{c}-\boldsymbol{\omega }\times ({\boldsymbol{I}}_{\boldsymbol{f}}{\boldsymbol{\omega }}_{\boldsymbol{f}})-{\boldsymbol{I}}_{\boldsymbol{f}}{\mathbf{\dot{\boldsymbol{\omega }}}}_{\boldsymbol{f}} $
式中，最右边的两项可以看作是制动过程中飞轮对探测器的反力矩。其中，ω⊆(Ifωf)对应陀螺力矩项，与探测器和飞轮的角速度有关。因此，在制动过程中，飞轮对探测器的反作用力矩不是一个恒定值。此外，探测器的姿态由四元数q = [q1, q2, q3, q4]T表示。探测器的姿态运动方程为：
$ \begin{split} &\left[\begin{array}{c}{\dot{q}}_{1}\\{\dot{q}}_{2}\\{\dot{q}}_{3}\\{\dot{q}}_{4}\end{array}\right]=\dfrac{1}{2}\left[\begin{matrix}0 & {\omega }_{z} & -{\omega }_{y} & {\omega }_{x}\\-{\omega }_{z} & 0 & {\omega }_{x} & {\omega }_{y}\\{\omega }_{y} & -{\omega }_{x} & 0 & {\omega }_{z}\\-{\omega }_{x} & -{\omega }_{y} & -{\omega }_{z} & 0\end{matrix}\right]\left[\begin{array}{c}{q}_{1}\\{q}_{2}\\{q}_{3}\\{q}_{4}\end{array}\right],\\&\boldsymbol{\omega }={\left[{\boldsymbol{\omega }}_{x},{\omega }_{y},{\omega }_{z}\right]}^{\text{T}} \end{split}$
基于四元数q，得到了姿态转移矩阵，并且在探测器的固定坐标系与小行星的固定坐标系之间进行坐标变换，得到：
$ \begin{split} &\boldsymbol{C}_{b}^{n} =\\&\left[\begin{matrix}q_{1}^{2}-q_{2}^{2}-q_{3}^{2}+q_{4}^{2} & 2({q}_{1}{q}_{2}+{q}_{3}{q}_{4}) & 2({q}_{1}{q}_{3}-{q}_{2}{q}_{4})\\2({q}_{1}{q}_{2}-{q}_{3}{q}_{4}) & -q_{1}^{2}+q_{2}^{2}-q_{3}^{2}+q_{4}^{2} & 2({q}_{2}{q}_{3}+{q}_{1}{q}_{4})\\2({q}_{1}{q}_{3}+{q}_{2}{q}_{4}) & 2({q}_{2}{q}_{3}-{q}_{1}{q}_{4}) & -q_{1}^{2}-q_{2}^{2}+q_{3}^{2}+q_{4}^{2}\end{matrix}\right]\end{split} $
$ {[X,Y,Z]}^{\text{T}}=\boldsymbol{C}_{b}^{n}\cdot {[x,y,z]}^{\text{T}}+{[{{X}_{OB}},{{Y}_{OB}},{{Z}_{OB}}]}^{\text{T}} $
式中，[X, Y, Z]ᵀ和[x, y, z]ᵀ分别是小行星和探测器的固定坐标系中同一点的坐标。[XOB, YOB, ZOB]ᵀ是探测器质心在小行星固定坐标系中的坐标。

1.2 接触模型

在将小行星和探测器都建模为多面体的基础上[32]，本文采用多面体接触模型[23,37]计算二者间的接触力和力矩。此模型可以处理两个多面体间存在多个面同时接触的情况。具体而言，在对每个接触元之间计算接触力时，都将小行星看作接触局部变形刚体模型。接触力由法向接触力Fnk和切向接触力Ftk合成，而法向接触力又由弹簧力Fck和阻尼力Fdk两部分构成，其表达式分别为：
$ {F}_{ck}={c}_{l}{A}_{k}{u}_{nk} $
$ {F}_{dk}=\begin{cases} {d}_{l}{A}_{k}{v}_{nk}, & {u}_{nk}\geqslant {u}_{d}\\{d}_{l}{A}_{k}{v}_{nk}\dfrac{{u}_{nk}}{{u}_{d}}, & {u}_{nk} \lt {u}_{d}\end{cases} $
式中，Ak表示接触面积，unk表示侵入量，vnk是相对速度的法向分量，ud是阻尼变化深度。cl代表面刚度系数，其值可由材料杨氏模量和泊松比计算得到，dl则代表面阻尼系数，其具体定义详见文献[37]。
然后，为了防止不现实的张力，计算总法向力Fnk如下：
$ {F}_{nk}=\begin{cases} {F}_{ck}+{F}_{dk}, & {F}_{ck}+{F}_{dk} \gt 0\\0, & {F}_{ck}+{F}_{dk}\leqslant 0\end{cases} $
在法向接触力Fnk的基础上，进一步求解摩擦力，即切向接触力Ftk表示为：
$ {F}_{tk}=\begin{cases} \mu {F}_{nk}, & {v}_{tk}\geqslant {v}_{\varepsilon }\\\mu {F}_{nk}\dfrac{{v}_{tk}}{{v}_{\varepsilon }}\left(2-\dfrac{{v}_{tk}}{{v}_{\varepsilon }}\right), & {v}_{tk} \lt {v}_{\varepsilon }\end{cases} $
式中，vtk表示相对速度的切向分量，当滑动速度小于一个小的临界值vɛ时，摩擦力大小按速度的二次曲线下降，以此避免静摩擦的计算。因此，两个面间接触力矢量Fk可写为：
$ {\boldsymbol{F}}_{k}={F}_{nk}{\boldsymbol{n}}_{k}+{F}_{tk}\dfrac{{\boldsymbol{v}}_{tk}}{{\boldsymbol{v}}_{tk}} $
式中，nk为探测器离散接触面的单位法向量。该接触力相对于探测器质心的力矩可表示为：
$ {\boldsymbol{M}}_{k}=\left({\boldsymbol{r}}_{Ck}-{\boldsymbol{r}}_{OB}\right)\times {\boldsymbol{F}}_{k} $
式中，rCk和rOB分别表示这一接触面中心位置矢量和从小行星质心指向表面探测器质心的相对位置矢量。
最后，将所有接触元件的力和力矩相加求和，得到主矢和相对小行星表面探测器质心的主矩，分别作为小行星对探测器的接触力Fc和接触力矩Mc：
$ \begin{cases} {\boldsymbol{F}}_{c}=\sum \limits_{k}{\boldsymbol{F}}_{k}\\{\boldsymbol{M}}_{c}=\sum \limits_{k}{\boldsymbol{M}}_{k}\end{cases} $
通过多面体接触模型还可以模拟多点接触、表面变形和探测器的滑移等。此外，因在动力学建模中考虑了探测器飞轮在制动过程中的非恒定反作用力矩，最终得到的探测器起跳动力学模型更为精确。

2 石块大小对探测器起跳速度的影响

基于建立的动力学模型，可以通过积分器DASKR[38]模拟探测器在不同石块地形上的跳跃过程。在探测器离开小行星表面前，接触力是跳跃过程中施加在探测器上的主导力。本文重点研究探测器从静止状态到起跳离地阶段，由于该阶段探测器位移极小，可认为其处于局部固定区域内，引力不会发生变化。因此，在整个模拟过程中，可将除接触力之外的其余外力合力等效为沿局部竖直向下的常值引力加速度，其大小取为1.0⊆10−4 m/s2。此外，探测器的几何尺寸都设置为棱长20 cm、质量20 kg的正方体，与文献[31]中探测器外形设置相同。其内部共安装了六个飞轮，每个飞轮均为直径20 cm、质量1 kg的均质薄圆环；具体而言，沿探测器主轴坐标系的x、y、z三个轴向各安装一对（正方体六个面的内侧各一个），以实现更精准的起跳控制与机动。仿真中的表面接触参数初步按照表1进行设置，这些参数参考了“隼鸟”2任务中MASCOT着陆器与小行星Ryugu表面相互作用的研究[39]，具有较强的工程背景和参考价值。需要说明的是，实际小天体表面并非完全刚性孤立石块的简单组合，石块间的堆积状态、聚合作用以及局部摩擦特性都会对探测器起跳过程产生影响，例如可能出现探测器压缩局部表面后再起跳的现象。本文认为，这类因素虽然会改变探测器与地表相互作用的具体过程，但其影响最终主要体现在局部接触响应的变化上，可统一等效到刚度、阻尼和摩擦系数等接触参数中。因此，本文采用的接触参数可视为对局部地形特征及其综合力学作用的等效表征，并且在同一小范围区域内，地形特征及接触条件可近似认为保持一致。
表 1 表面接触参数

Table 1 Surface contact parameters

接触参数数值
杨氏模量/(N/m2)4.72×105
泊松比0.4
弹性层厚度/m0.02
面阻尼系数/(Ns/m3)1.0×108
阻尼变化深度/m0.02
摩擦系数0.45

2.1 建立不同石块尺寸的复杂地形

小天体表面通常由不同尺度的物质共同构成。本文主要关注其中不同尺寸石块地形对探测器起跳的影响。由于探测器为棱长20 cm、质量20 kg的均质正方体，若生成石块尺寸过大，则容易使探测器被放置在单个或少数几个大石块表面上，这对于探测器在不同石块尺寸复杂地形上的运动探究意义并不大；而细粒物质构成的风化层可能引入沉陷、压实及更强能量耗散等介质效应，改变接触作用过程与滑移行为，且这部分属于颗粒介质建模问题，不属于本文研究重点。基于此，最终确定所要研究的复杂地形上的石块尺寸范围大约为1~12 cm（小于或接近于探测器棱长的一半）。为避免同一复杂地形上石块尺寸变化过大所导致研究结果具有偶然性，分别选取1~2 cm、3~4 cm、5~6 cm、7~8 cm、9~10 cm、11~12 cm六组石块尺寸，分别生成相对应石块尺寸下的复杂地形。通过生成与研究目标尺寸匹配的石块，并将其合并到平面中，构建复杂的石块地形[19，40]。事实上，根据幂律形式[19，40-41]，石块尺寸的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）和概率密度函数（Probability Density Function，PDF）为：
$ \text{CDF}(d)=1-{(\dfrac{{d}_{\min }}{d})}^{\alpha }(d\geqslant {d}_{\min }) $
$ \text{PDF}(d)=\alpha \dfrac{{d}_{\min }{}^{\alpha }}{{d}^{\alpha +1}}(d\geqslant {d}_{\min }) $
式中，α（α > 0）是一个幂指数，在其他条件不变的情况下，α值越大，大石块出现的概率越低。dmin表示石块的最小尺寸。选择dmin可避免dmin趋近于0时PDF趋近于1的异常情况。d表示生成石块的尺寸，d都大于dmin。基于式（15），假设CDF的值等于γ（γ为0~1之间的随机数），可得到d的直接表达式：
$ d=\dfrac{{d}_{\min }}{{\left(1-\gamma \right)}^{\dfrac{1}{\alpha }}},  \,d\geqslant {d}_{\min }, 0 \lt \gamma \lt 1 $
式（17）可生成大于dmin的任何尺寸的石块。为了避免生成出尺寸过大的石块，可通过设置最大石块尺寸dmax对式（17）进行修正：
$ \begin{cases} d=\dfrac{{d}_{\min }}{{(1-\varepsilon \gamma )}^{\tfrac{1}{\alpha }}} \,{d}_{\min }\leqslant d\leqslant {d}_{\max }, 0 \lt \gamma \lt 1\\\varepsilon =1-{\left(\dfrac{{d}_{\min }}{{d}_{\max }}\right)}^{\alpha }\end{cases} $
具体而言，用数值方法根据所要生成的不同石块尺寸地形，分别生成不同石块地形中所对应需要的若干块石块，并将它们整合到各自对应的2 m×2 m的平面中。为了保证这六组不同石块尺寸地形上的石块疏密程度相同，并考虑到不能因石块数量太过密集而导致地形过于复杂偏离现实，同时还要保证石块数量不能过于稀疏而导致研究结果精确度降低，将每组石块尺寸的dmax和dmin设定为该组石块尺寸的界限值，并据此确定相应石块数量。例如，对于第一组1~2 cm石块尺寸，其dmax值设为2 cm，dmin值设为1 cm，分别为六组复杂地形下的石块尺寸设定限制。对于石块数量设置，分别取每组石块尺寸的中间值（如第一组1~2 cm，取中间值为1.5 cm，即0.015 m，记为$ d_{m}^{2} $），将每个石块的平均占地面积近似为$ d_{m}^{2} $，再用总平面面积（4 m2）除以该值，即可计算出每一组石块地形下的石块数量x为：
$ x=\dfrac{4}{d_{m}^{2}} $
同时，各组石块在地形中的空间排布均采用随机方式生成。将幂指数α设置为1，石块的大小通过式（18）计算；石块形状则从球体、四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体中随机选择。石块大小的概率密度函数服从幂律分布[19,40,42]。因此，不同石块尺寸组之间石块数量及空间排布的变化，均已作为地形构建过程中的组成部分加以统一考虑。按照此方式生成模拟小行星表面的石块地形三维图如图3所示。由于本文并不关注如何对小行星表面石块地形进行模拟，所研究的仅是不同石块尺寸复杂地形对探测器起跳的影响，这种建模处理不会影响后续探测器在不同石块尺寸复杂地形上的起跳分析。仅应用此石块地形三维图进行后续仿真，关于地形生成方法的具体细节可见文献[40-42]。
图 3 生成的复杂石块地形

Fig.3 Generated complex rock terrain

2.2 数值仿真

将正方体探测器放置在复杂石块地形坐标原点的正上方。为研究探测器的起跳过程，仿真仅使用了沿y轴安装的一对飞轮，其余四个飞轮均保持静止。飞轮初始转速设为5 000 rpm，角速度矢量方向沿y轴正方向。飞轮刹车过程中的角加速度设为−104.72 rad/s2（对应于转速每秒减小1 000 rpm），刹车作用持续时间tc设为0.05 s。在此基础上，可对探测器在复杂的石块地形上起跳过程进行模拟。仿真过程重点关注两个关键特征量：起跳速度vh和起跳角度θh。这两个参数描述了探测器刚好起跳、与小行星表面结束接触瞬间的物理量。其中，起跳速度vh为探测器起跳时质心速度的大小，起跳角度θh为探测器起跳时质心速度方向与地面的夹角。
在接触过程中，按照库仑摩擦定律，摩擦系数μ为切向接触力Ft与法向接触力Fn大小之比。结合动量定理可知，摩擦系数可对探测器切向速度与法向速度之比产生较大影响，从而影响起跳角度。具体而言，探测器在平面起跳且重力方向竖直向下时，起跳角度θh的余切可表示为：
$ \cot {\theta }_{h}=\dfrac{{v}_{t}}{{v}_{n}}=\dfrac{\int \dfrac{{F}_{t}}{m}\text{d}t}{\int \dfrac{{F}_{n}}{m}\text{d}t-\text{g}\int \text{d}t} $
式中，vt和vn分别表示探测器质心在切向和法向的速度分量大小，由于小行星表面重力加速度g很小，在小行星表面探测器起跳时，式（20）中重力项远小于接触力项，因此可以忽略不计。结合式（11）中摩擦力的求解方法，可得起跳角度与摩擦系数的关系为：
$ \cot {\theta }_{h}\approx \mu $
在此分析基础上，选择改变摩擦系数值，将摩擦系数从0.15~1.35等间距选取共13组，经过这13组起跳过程的仿真，得到探测器起跳速度与起跳角度这两个起跳特征量随摩擦系数变化曲线。为验证仿真结果的正确性，需观察起跳角度随摩擦系数变化的曲线图是否与曲线θh = arccotμ相吻合。
对探测器在六组不同石块尺寸的复杂地形上的起跳分别进行仿真计算，结果如图4所示。其中，蓝色实线为理论线θh = arccotμ，并将六组地形下的起跳角度随摩擦系数变化的曲线图汇总分析，结果显示，仿真得出的六组曲线共13个数据点均与理论曲线θh = arccotμ十分吻合。这一结果与Yoshimitsu等[28]的解析推导与实验验证[29]结果相一致，进一步验证了该理论的正确性，同时验证了本文仿真计算的可靠性。
图 4 探测器在六组不同石块尺寸地形下起跳角度随摩擦系数的变化

Fig.4 Variation of the rover’s hopping angle with the coefficient of friction across six different rock size terrains

图5为六组不同石块尺寸地形下，探测器起跳速度随摩擦系数变化的曲线。
图 5 探测器在六组不同石块尺寸地形下起跳速度随摩擦系数的变化

Fig.5 Variation of the rover’s hopping velocity with the coefficient of friction across six different rock size terrains

为了更直观地展示起跳速度与石块尺寸之间的关系，将图5的数据进行了重新整理，均匀地选取了7组摩擦系数，绘制出起跳速度随石块尺寸变化的曲线，如图6所示。
图 6 不同摩擦系数下探测器起跳速度随石块尺寸的变化

Fig.6 Variation of the rover’s hopping speed with rock size under different friction coefficients

通过对比分析图5与图6可以看出，不同石块尺寸地形下探测器的起跳速度存在差异，且石块尺寸对起跳速度的影响大于摩擦系数对起跳速度的影响（图5中不同石块尺寸地形下，探测器起跳速度随摩擦系数变化曲线之间的间距，远大于图6中不同摩擦系数下，起跳速度随石块尺寸变化的曲线间距）。进一步观察发现，起跳速度大小与石块尺寸大小之间并不存在单调变化规律：例如在图5中，起跳速度从大到小依次为11~12 cm、9~10 cm、1~2 cm、7~8 cm、5~6 cm、3~4 cm石块地形。其中，1~2 cm、9~10 cm和11~12 cm石块地形中，探测器的起跳速度随着摩擦系数增加而递减；3~4 cm、5~6 cm和7~8 cm石块地形中，起跳速度随着摩擦系数增加而递增。此外，六组石块地形中探测器起跳速度的变化幅度从大到小依次为11~12 cm、9~10 cm、3~4 cm、5~6 cm、1~2 cm、7~8 cm石块地形。综上可见，在不同石块地形中，起跳速度大小随着摩擦系数变化时，速度变化幅值与趋势均和石块尺寸间无规律性关系。
为了更深入地探究不同石块尺寸地形以及同一石块尺寸地形不同位置对探测器起跳速度的影响及变化规律，针对每组不同尺寸的石块地形进行大规模仿真。在保持其他参数恒定的条件下，在这六种不同石块尺寸地形中，每种石块地形分别随机生成100个探测器起跳初始位置；选定摩擦系数为0.75，对探测器在这些新生成的地形坐标位置上的起跳进行仿真计算，并对仿真得到的起跳速度和起跳角度进行统计分析。图7和图8分别为每组地形下探测器起跳速度和起跳角度的箱型图展示，以便于观察数据的分布和离散程度。从图7和图8可以看出，六组不同石块尺寸地形上探测器的起跳角度与θh = arccotμ基本吻合（arccot0.75 ≈ 53.13°）。同时，计算每组地形下探测器起跳速度的均值、标准差和去掉离群点数据后的极差，相关统计参数的详细数据展示在表2中。
图 7 探测器在六组不同石块尺寸地形上起跳速度的统计分布

Fig.7 Statistical distribution of the rover’s hopping speed on six sets of rocky terrains

图 8 探测器在六组不同石块尺寸地形上起跳角度的统计分布

Fig.8 Statistical distribution of the rover’s hopping angle on six sets of rocky terrains

表 2 六组地形下起跳速度的均值、标准差和极差

Table 2 The mean, standard deviation, and range of hopping speed under six sets of terrains

探测器起跳速度均值/(m/s)标准差/(m/s)极差/(m/s)
1~2 cm 石块0.014 00.010 20.034 0
3~4 cm 石块0.015 70.007 30.028 5
5~6 cm 石块0.010 40.008 10.032 2
7~8 cm 石块0.008 30.007 60.031 8
9~10 cm石块0.020 70.010 30.030 1
11~12 cm石块0.018 90.007 40.033 7
通过对六组统计参数的分析对比，发现探测器在这些地形下的起跳速度均值、标准差和极差并无规律性变化。每组石块地形中探测器的起跳速度均值由大到小依次为9~10 cm、11~12 cm、3~4 cm、1~2 cm、5~6 cm、7~8 cm石块地形。每组石块地形中探测器起跳速度的标准差由大到小依次为9~10 cm、1~2 cm、5~6 cm、7~8 cm、11~12 cm、3~4 cm石块地形。每组石块地形中去除离群点后探测器起跳速度的极差由大到小依次为1~2 cm、11~12 cm、5~6 cm、7~8 cm、9~10 cm、3~4 cm石块地形。
在六组不同石块尺寸的地形中，探测器起跳速度均值最大为9~10 cm石块尺寸地形中的0.020 7 m/s，最小为7~8 cm石块尺寸地形中的0.008 3 m/s，二者差值为0.012 4 m/s，远小于每一组地形中探测器起跳速度的极差（六组地形中去掉离群点数据后，最小的极差为3~4 cm石块地形下的0.028 5 m/s）。这表明，同一石块尺寸地形下，不同位置上探测器的起跳速度存在较大差异，且该差异甚至超过不同石块尺寸地形上探测器起跳速度的差异。
为定量评估石块尺寸变化对探测器起跳速度的影响程度，进一步对六组石块尺寸地形下的起跳速度数据进行了单因素方差分析及效应量分析。设第i组石块尺寸地形中第j个样本的起跳速度为oij，第i组样本均值为${\overline{o}}_{i} $，总体均值为${\overline{o}} $。定义零假设H0为：六组不同石块尺寸地形下探测器起跳速度的总体均值无显著差异；备择假设H1为：至少存在一组总体均值与其他组不同。单因素方差分析中，组间平方和SSb与组内平方和SSw和分别表示为：
$ S{S}_{b}=\sum \limits_{i=1}^{Q}{W}_{i}{({{\overline{o}}_{i}}-\overline{o})}^{2} $
$ S{S}_{w}=\sum \limits_{i=1}^{Q}\sum \limits_{j=1}^{{W}_{i}}{({{o}_{ij}}-{{\overline{o}}_{i}})}^{2} $
式中，Q为分组总数，Wi为第i组样本量，总样本量b记为：
$ b=\sum \limits_{i=1}^{Q}{W}_{i} $
根据表2所列的六组起跳速度均值与标准差数据，可得总体均值`o为0.014 7 m/s，组内平方和SSw可表示为：
$ S{S}_{w}=\sum \limits_{i=1}^{Q}({W}_{i}-1)e_{i}^{2} $
将表2数据代入式（22）~式（23），可计算得到组间平方和SSb约等于0.0115，组内平方和SSw约等于0.0437，进一步可得组间均方MSb与组内均方MSw分别为：
$ M{S}_{b}=\dfrac{S{S}_{b}}{Q-1}\approx 2.29\times {10}^{-3} $
$ M{S}_{w}=\dfrac{S{S}_{w}}{b-Q}\approx 7.36\times {10}^{-5} $
对应的F统计量为：
$ F=\dfrac{M{S}_{b}}{M{S}_{w}}\approx 31.10 $
在零假设H0成立时，统计量F服从自由度为（Q − 1, b − Q）的F分布。本文共设置Q = 6组石块尺寸地形，且每组样本量均为100，因此总样本量b = 600。将Q = 6和 b = 600代入（Q − 1,b − Q）可得，该F分布的自由度分别为5和594，对应显著性概率p值约为3.51×10−28，故可记为p＜0.001。这表明不同石块尺寸地形下，探测器起跳速度均值之间存在显著差异，即石块尺寸变化会对起跳速度产生影响。但由表2中六组均值大小规律可知，石块尺寸变化对起跳速度的影响并不呈现单调变化规律，因此起跳速度与石块尺寸之间不存在规律性关系。
为进一步衡量石块尺寸对起跳速度总变异的解释程度，定义效应量η2为：
$ {\eta }^{2}=\dfrac{S{S}_{b}}{S{S}_{b}+S{S}_{w}} $
计算可得η2约等于0.208，这表明石块尺寸分组能够解释约20.8%的起跳速度总变异，其余约79.2%的变异来自同一石块尺寸地形内部的组内波动。结合本文仿真设置，这部分组内波动主要对应于同一石块尺寸地形中不同起跳位置及其局部接触状态差异对起跳速度的影响。由此，单因素方差分析与效应量分析结果进一步支撑了前述现象判断。因此可得出结论，不同地形对探测器的起跳速度存在影响，但不存在起跳速度和石块尺寸间的规律性关系；同一石块尺寸地形下不同起跳位置对探测器起跳的影响，甚至比石块尺寸的影响更为显著。

3 探测器的弹跳控制

3.1 弹跳运动控制量与影响因素

对于内力矩驱动弹跳式小行星表面探测器的起跳控制来说[32]，因飞轮相当于执行机构，通过对飞轮刹车过程的控制可实现对探测器的起跳控制。具体来说，可以通过飞轮刹车时长（在实际工程中对应刹车装置抱死持续时间）与刹车角加速度（对应刹车装置抱死的松紧程度）来进行控制。
另外，由于内力矩驱动弹跳式小行星表面探测器起跳依赖小行星地表的接触力，起跳特征必然对接触参数具有较大的依赖性。根据文献[32]，刚度及摩擦系数为其中两个重要的影响因素，上述变量对探测器起跳的影响规律总结如下。

3.1.1 飞轮刹车时长对探测器起跳特征的影响

首先，伴随着飞轮刹车时长的增加，探测器起跳速度、角度开始时都表现为似阶梯状上升变化，这是因为在探测器起跳的过程中存在探测器与地表的多次微接触现象。当飞轮刹车时长达到某一时间后，无论如何继续延长刹车时长，探测器都会在同一时间提前起跳，且起跳特征不再变化。根据以上结论，在实际工程中应当尽量避免飞轮刹车时长超过刹车作用饱和时间而造成无意义的能源消耗和机械磨损。

3.1.2 飞轮刹车角加速度对探测器起跳特征的影响

一方面，当飞轮刹车角加速度大小增大到一定程度时，刹车作用饱和时间会出现下降；如果饱和时间小于刹车时长，则出现提前起跳现象。因此在实际工程中，尤其是当飞轮角加速度大小较大时，更应注意避免飞轮刹车时长较长导致探测器提前起跳，从而造成无意义的能源消耗和机械磨损。另一方面，在飞轮刹车时角加速度增大的过程中，均为起跳速度变化大而起跳角度变化很小，且探测器起跳速度可以近似看作与飞轮角加速度大小呈线性关系，在实际工程中可借此规律，通过对飞轮刹车角加速度的控制来控制探测器的弹跳距离。

3.1.3 刚度变化对探测器起跳特征的影响

在通过改变接触面材料杨氏模量来改变刚度的过程中，刚度主要影响探测器的起跳速度，对起跳角度几乎无影响。随着材料杨氏模量增大，起跳时间、速度、角度开始时都单调递减；但杨氏模量增大到一定程度时，如果引起微接触次数的变化，起跳时间会发生跳变，且跳变后单调递减。此外，在微接触次数增加后，起跳速度会随杨氏模量增大而出现先增加后减小的趋势，具体的动力学机理可参考文献[32]。

3.1.4 摩擦系数变化对探测器起跳特征的影响

随着摩擦系数的增大，起跳时间会单调递减，但变化幅度不大；起跳速度的变化趋势则与地形有关，且变化幅度很小；摩擦系数对起跳角度的影响则十分明显，且起跳角度与摩擦系数间符合关系式θh = arccotμ。

3.1.5 影响因素经验总结

探测器的起跳角度主要由摩擦系数μ决定，且不受其他控制变量的影响。探测器的起跳速度受多种因素影响，部分影响探测器起跳的因素列于表3，包括两个控制变量（飞轮刹车时长、飞轮刹车角加速度）和其他影响变量。各影响因素的关系汇总如图9所示。研究这些影响探测器起跳因素，最终目的是探究这些因素对于探测器的起跳速度和起跳角度的影响是否存在某种规律，从而依据规律性结论更好地对探测器的起跳进行控制。虽然如表3所示，影响探测器起跳的所有变量都可以测得或给定，但不同石块尺寸地形对探测器的起跳速度的影响并不存在规律。因此，无法通过弹跳距离和对起跳影响变量的测量直接得出对应控制变量的值。
表 3 影响探测器起跳特征的部分因素

Table 3 Some factors influencing the hopping characteristics of the rover

变量类别影响因素能否测量或给定?是否存在规律性
控制变量飞轮刹车时长可给定是
飞轮刹车角加速度可给定是
探测器的质量可给定是
探测器的质量分布可给定否
探测器的转动惯量可给定是
其余影响变量探测器外形可给定否
摩擦系数可测量是
石块尺寸可测量否
引力加速度可测量是
杨氏模量可测量是
图 9 影响探测器起跳距离的因素及其作用流程

Fig.9 Factors influencing the rover’s hopping distance and their process of action

3.2 控制策略

石块尺寸变化会对探测器起跳速度产生影响，但尚未发现明确的规律性，因此无法根据探测器对石块大小等因素的感知而直接计算得出控制量。由于复杂石块地形下探测器所处位置的起跳动力学特性难以直接测量，只能通过探测器的小范围试跳来感知探测器在所处位置的起跳动力学特性。综合考虑探测器起跳的两个控制变量对其起跳的影响规律，本文根据探测器起跳速度vh和飞轮的角加速度β之间存在的线性规律对探测器起跳进行控制。探测器的速度为：
$ {v}_{h}=k\beta $
式中，k为比例系数，反映了探测器起跳速度vh和飞轮的角加速度β之间的线性关系。在小天体表面微重力环境下，探测器起跳后的运动可近似看作一个斜上抛运动。根据仿真分析可知，探测器在起跳运动过程中的位移为米级，对于尺寸为百米级甚至更大小行星而言，这一过程仍属于局部小范围移动，因此在该过程中重力几乎不会发生变化，可近似看作常值。基于此，探测器的弹跳距离dh可表示为：
$ {d}_{h}=\dfrac{v_{h}^{2}}{g}\sin \left(2{\theta }_{h}\right) $
探测器的起跳角度与起跳速度可以通过让探测器先进行小范围试跳的方法得出。由于试跳范围较小，可近似认为试跳与正式跳跃发生在同一局部区域内，该范围内地形特征、接触条件及摩擦系数变化较小，因此可将试跳测得的接触参数视为正式跳跃时的近似一致参数。根据第3.1.4节中摩擦系数变化对探测器起跳特征的影响总结，探测器起跳角主要与摩擦系数有关，在局部小范围内摩擦系数可近似认为不变，因此试跳与正式跳跃的起跳角度可近似视为不变。通过小范围试跳，能够避免探测器跳跃范围过大导致始末位置摩擦系数变化过大，从而对起跳角度产生较大影响进而导致弹跳轨迹发生较大偏移。同时，探测器起跳速度与飞轮角加速度之间的线性关系不变，因此可利用一次近距离试跳获取当前位置附近影响探测器起跳的参数信息，为正式跳跃控制量求解提供依据。本文使用CoppeliaSim软件仿真模拟探测器在小行星表面微重力环境中的起跳。探测器起跳的过程如图10所示：首先控制探测器先进行近距离试跳，在试跳结束后，再进行探测器的正式起跳控制。
图 10 探测器起跳控制策略仿真过程

Fig.10 Simulation process of the rover’s hopping control strategy

具体操作流程为：首先，给定飞轮角加速度β一个较小的预设数值，通过小范围试跳得到起跳速度vh后，可根据式（30）计算出比例系数k的值。然后，结合探测器的目标弹跳距离dh、小范围试跳得到的起跳角度θh（根据第3.1.5节已有结论，起跳角度主要由摩擦系数决定，与其他控制变量无关，因此假设探测器正式起跳的角度与小范围试跳得到的起跳角度一致），以及探测器所处范围内的引力加速度g，使用式（31）来计算出探测器的起跳速度vh。再结合已推出的比例系数k，根据式（30）中角加速度β和起跳速度vh的线性关系，计算出探测器应使用的飞轮角加速度值β。通过这种根据线性规律的控制方法，可以对探测器的弹跳进行有效地控制，从而实现较为精确的导航和着陆。
本文所侧重研究的是探测器从静止到起跳刚离开地面的过程，而起跳后的运动过程则由起跳速度、起跳角度以及小行星引力加速度共同决定。由于不同小行星表面的引力场存在差异，探测器起跳后的运动需要根据具体小行星的条件进行详细分析。整个过程中，每一步都需要精确控制。飞轮的转速和角加速度需设定在合理范围，确保骤然刹车时小行星表面产生的反作用接触力能够推动探测器跃起；同时需考虑探测器在空中的姿态控制，以确保其安全返回小行星表面。通过此类仿真，可更深入地理解探测器在微重力环境下的行为特性，为未来的太空探索任务提供重要的数据和洞见，进而推动太空探索技术的进步，为人类的太空探索活动提供更多可能性。

4 结 语

本文基于内力矩驱动弹跳式探测器动力学模型，通过数值仿真研究了内力矩驱动弹跳式探测器的起跳特征随小行星表面石块大小变化及起跳位置的影响，并进一步探讨了探测器在小行星表面的起跳控制策略。为避免石块地形中随机生成的石块尺寸差距过大导致仿真出现的偶然性，本文通过随机生成较小尺寸差距的石块来模拟复杂石块地形；此外，为最大程度地生成接近于小行星表面的地形地貌，提出了一种根据石块尺寸计算石块数量的方法。
本文通过对探测器在不同石块地形及同一石块地形不同位置上的起跳仿真，以及对起跳控制方法的分析研究，得到了以下结论：不同石块尺寸地形对探测器起跳速度的影响无明显规律，而同一石块尺寸地形下不同起跳位置对探测器起跳的影响，相较于石块尺寸的影响甚至更为显著。因石块尺寸变化对探测器起跳速度变化有影响但并未发现其规律性，无法根据探测器对石块大小等因素的感知而直接计算得出控制量，只能先通过探测器的小范围试跳来感知探测器在所处位置的起跳动力学特性。综合考虑探测器起跳的两个控制变量对其起跳的影响规律后，可根据起跳速度vh和飞轮的角加速度β的线性关系vh = kβ对探测器起跳过程进行控制。

References

Publishing order | Descend order by publishing year | Descend order by cited within
1
司震, 钱霙婧, 杨晓东, 等. 基于参激共振的受摄小行星悬停轨道设计方法[J]. 力学学报, 2020, 52 (6): 1774- 1788.

SI ZHEN, QIAN YINGJING, YANG XIAODONG, et al. Hovering orbits design for perturbed asteroids with parametric excitation resonance[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2020, 52 (6): 1774- 1788.

2
LIANG Y, GÓMEZ G, MASDEMONT J J, et al. Stable regions of motion around a binary asteroid system[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2019, 42 (11): 2521- 2531.

3
LANG A, CHEN G, GUO P. Heliotropic orbits at asteroid 99942 Apophis: considering solar radiation pressure and zonal gravity perturbations[J]. Acta Astronautica, 2022, 198, 454- 470.

DOI

4
SAWAI S, KAWAGUCHI J, SCHEERES D, et al. Development of a target marker for landing on asteroids[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2001, 38 (4): 601- 608.

DOI

5
LIU X D, BAOYIN H X, MA X R. Dynamics of surface motion on a rotating massive homogeneous body[J]. Science China Physics, Mechanics and Astronomy, 2013, 56 (4): 818- 829.

DOI

6
YU Y, BAOYIN H X. Modeling of migrating grains on asteroid’s surface[J]. Astrophysics and Space Science, 2015, 355 (1): 43- 56.

DOI

7
YU Y, BAOYIN H X. Routing the asteroid surface vehicle with detailed mechanics[J]. Acta Mechanica Sinica, 2014, 30 (3): 301- 309.

DOI

8
ZHANG Y, ZENG X, CIRCI C, et al. The motion of surface particles for the asteroid 101955 Bennu[J]. Acta Astronautica, 2019, 163, 3- 10.

DOI

9
ZHANG Y, LI J, ZENG X. The dynamical environments analysis of surface particles for different shaped asteroids[J]. Advances in Space Research, 2021, 67 (10): 3328- 3342.

DOI

10
LIU X, YANG H, LI S, et al. Lift-off velocity on the surface of a binary asteroid system[J]. Acta Astronautica, 2020, 170, 302- 319.

DOI

11
王雅平, 王悦, 吴晓杰, 等. 双小行星系统表面动力学环境分析[J]. 北京航空航天大学学报, 2022, 50 (3): 940- 950.

DOI

WANG Y P, WANG Y, WU X J, et al. Surface dynamical environment analysis of a binary asteroid system[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2022, 50 (3): 940- 950.

DOI

12
WEN T, ZENG X, CIRCI C, et al. Hop reachable domain on irregularly shaped asteroids[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2020, 43 (7): 1269- 1283.

DOI

13
LIU Y, ZHU S, CUI P, et al. Hopping trajectory optimization for surface exploration on small bodies[J]. Advances in Space Research, 2017, 60 (1): 90- 102.

DOI

14
HOCKMAN B, PAVONE M. Stochastic motion planning for hopping rovers on small solar system bodies[C]. Robotics Research: The 18th International Symposium ISRR, Cham, Switzerland, 2019.

15
SHEN H X, ZHANG T J, LI Z, et al. Multiple-hopping trajectories near a rotating asteroid[J]. Astrophysics and Space Science, 2017, 362 (3): 45.

DOI

16
姜宇, 李恒年. 考虑碰撞与黏滑的小天体表面软着陆模型与轨迹设计[J]. 中国科学: 物理学 力学 天文学, 2019, 49(8): 084504.

JIANG Y, LI H N. Soft-landing model and trajectory design on the surface of small bodies considering collision and stick-slip[J]. Scientia Sinica Physica, Mechanica & Astronomica, 2019, 49(8): 084504.

17
YANG H, BAOYIN H. Fuel-optimal control for soft landing on an irregular asteroid[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2015, 51 (3): 1688- 1697.

DOI

18
YANG H, BAI X, BAOYIN H. Finite-time control for asteroid hovering and landing via terminal sliding-mode guidance[J]. Acta Astronautica, 2017, 132, 78- 89.

DOI

19
TARDIVEL S, SCHEERES D J, MICHEL P, et al. Contact motion on surface of asteroid[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2014, 51 (6): 1857- 1871.

DOI

20
王飞. 小行星跳跃探测器着陆跳跃运动仿真研究[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2014.

WANG F. Simulation study on landing and hopping motion of an asteroid hopping probe[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2014.

21
VAN WAL S, REID R G, SCHEERES D J. Simulation of nonspherical asteroid landers: contact modeling and shape effects on bouncing[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2020, 57 (1): 109- 130.

DOI

22
WEI B, SHANG H. Accurate contact law for surface motions of small-body exploration rovers[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2021, 44 (5): 938- 953.

DOI

23
ZHANG Y, LI J, ZENG X, et al. High-fidelity landing simulation of small body landers: modeling and mass distribution effects on bouncing motion[J]. Aerospace Science and Technology, 2021, 119, 107149.

DOI

24
HOCKMAN B J, FRICK A, REID R G, et al. Design, control, and experimentation of internally-actuated rovers for the exploration of low-gravity planetary bodies[J]. Journal of Field Robotics, 2017, 34 (1): 5- 24.

25
ULAMEC S, KUCHERENKO V, BIELE J, et al. Hopper concepts for small body landers[J]. Advances in Space Research, 2011, 47 (3): 428- 439.

DOI

26
SAGDEEV R Z, ZAKHAROV A V. Brief history of the Phobos mission[J]. Nature, 1989, 341 (6243): 581- 585.

DOI

27
TSUMAKI Y, AKAIKE T, MINETA T, et al. Design of environment driven rover for asteroid (Space engineering and robotics and mechatronics (1))[C]. The Proceedings of JSME Annual Conference on Robotics and Mechatronics (Robomec), 2012.

28
YOSHIMITSU T, NAKATANI I, KUBOTA T. New mobility system for small planetary body exploration[C]. Proceedings 1999 IEEE International Conference on Robotics and Automation, Detroit, MI, USA, 1999. 1404-1409.

29
YOSHIMITSU T, KUBOTA T, NAKATANI I, et al. Microgravity experiment of hopping rover[C]. Proceedings 1999 IEEE International Conference on Robotics and Automation, Detroit, MI, USA, 1999. 2692-2697.

30
LI X, SANYAL A K, WARIER R R, et al. Dynamics analysis of hopping rovers on irregularly-shaped small bodies[C]. Advances in the Astronautical Sciences, 2018. 3687-3702.

31
CHENG B, YU Y, BAOYIN H. Numerical simulations of the controlled motion of a hopping asteroid lander on the regolith surface[J]. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2019, 485 (3): 3088- 3096.

DOI

32
张永隆. 小行星表面巡视探测动力学研究[D]. 北京: 清华大学, 2022.

ZHANG Y L. Research on dynamics of asteroid surface rovering exploration[D]. Beijing: Tsinghua University, 2022.

33
GAJAMOHAN M, MUEHLEBACH M, WIDMER T, et al. The Cubli: A reaction wheel based 3D inverted pendulum[C]. Proceedings of the 2013 European Control Conference, Zurich, Switzerland, 2013.

34
MUEHLEBACH M, D’ANDREA R. Nonlinear analysis and control of a reaction-wheel-based 3-D inverted pendulum[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2016, 25 (1): 235- 246.

DOI

35
龚宇鹏, 谢天, 林晓辉. 轮控小行星探测器建模及跳跃移动仿真[J]. 上海航天, 2019, 36 (3): 7- 13.

DOI

GONG Y P, XIE T, LIN X H. Modeling and hopping mobility simulation of a wheel-controlled asteroid probe[J]. Shanghai Aerospace, 2019, 36 (3): 7- 13.

DOI

36
王云飞, 张尧, 李谋, 等. 弱引力下小行星动量驱动机器人的可控跳跃行为[J]. 宇航学报, 2021, 42 (5): 572- 580.

DOI

WANG Y F, ZHANG Y, LI M, et al. Controllable jumping behavior of asteroid momentum-driven robot in weak gravitational field[J]. Journal of Astronautics, 2021, 42 (5): 572- 580.

DOI

37
HIPPMANN G. An algorithm for compliant contact between complexly shaped bodies[J]. Multibody System Dynamics, 2004, 12 (4): 345- 362.

DOI

38
BROWN P N, HINDMARSH A C, PETZOLD L R. Consistent initial condition calculation for differential-algebraic systems[J]. SIAM Journal on Scientific Computing, 1998, 19 (5): 1495- 1512.

DOI

39
HERRMANN F, KUß S, SCHÄFER B. Mobility challenges and possible solutions for low-gravity planetary body exploration[J]. 2011.

40
WEN T, LI Z, ZHANG Y, et al. Coupled orbit-attitude motion of asteroid hopping rover by considering rough terrains[C]. Advances in the Astronautical Sciences, 2021. 1509-1523.

41
ZENG X, WEN T, LI Z, et al. Natural landing simulations on generated local rocky terrains for asteroid cubic lander[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2022, 58 (4): 3492- 3508.

DOI

42
王亚林, 刘鹏, 吴辉阳, 等. 碎石堆构造小行星表面地形分析与仿真验证[J]. 深空探测学报 （中英文）, 2019, 6 (5): 481- 487.

WANG Y L, LIU P, WU H Y, et al. Terrain analysis and simulation verification of rubble-pile asteroid surface[J]. Journal of Deep Space Exploration, 2019, 6 (5): 481- 487.

Options
Outlines

/

〈 〉