0 引 言
为了实现大口径天线的在轨组装，需要进行天线构型的创新设计。模块化可展开天线将天线整体分成若干个小模块，每个小模块拥有单独的折展机构，该机构具有形面精度高、收拢比大的特点。田大可[10]在《模块化空间可展开天线支撑桁架设计与实验研究》中，设计了等尺寸模块天线支撑桁架的几何模型，但仅设计了典型七模块的天线构型。刘兆晶[11]在《模块化可展开抛物面天线支撑机构设计与研制》中，提出了另一种等尺寸模块天线支撑桁架的几何模型设计方法，但建立流程较复杂。虽然目前已有部分模块化可展开天线构型的设计方法，但其构型的各模块间共享两个肋节点，展开后天线形面将被固定且无法调节。由于太空环境的复杂性与多变性，大口径天线的形面保持难度较高。为解决这一问题，最具可行性的办法是在模块间安装可调节机构，这就需要在天线构型设计时预留模块间隙。
通过在轨组装天线的技术路径同样需要对天线构型进行模块化创新设计。美国国家航空航天局于2019年发射的詹姆斯·韦伯空间望远镜[12]，以及2021年OSAM-1项目通信天线[13]，其在轨组装均采用六边形作为模块的包络图形，且模块间留有间隙，用以安装连接机构，其模块为整块镜面，无法折叠。史创等[14]在《空间大型结构体在轨组装单元及对接接口研究》中，对空间大型结构体的模块化可折展桁架构型进行了结构设计，同样采用了六边形作为模块的包络图形，但所设计的桁架骨架为平面结构，无法直接用于反射面天线的构型设计。从各机构对在轨装配的天线构型设计的研究可知，以六边形作为包络图形的模块化天线构型更符合实际工程中的要求。为预留模块间连接机构的安装空间，在设计天线构型时仍需考虑间隙设计。
综上所述，无论是通过设计新型折展机构，还是通过在轨组装的技术路径实现大口径天线的在轨建设，都需要对天线构型进行创新设计，而两种技术路径的工程需求都指向同一种构型：包络几何图形为六边形、等肋长且等间隙的模块化天线构型。通常情况下，反射面天线的工作面为抛物面，以便将信号集中于一点，但抛物面天线桁架的制造难度较大、成本较高，在工程中可使用球面代替抛物面，天线反射面的形状可用索网维持[15]，以缩短工期并降低成本。
本文将提供一种包络几何图形为六边形、等肋长且等间隙的模块化天线构型的设计方法，该构型天线的工作面将拟合为指定半径的球面。本文结构如下：第1节阐述本方法适用的天线构型，并简要介绍设计流程；第2节阐述无间隙的上层拓扑结构的生成规则；第3节介绍上层节点的更新规则与下层节点的生成规则；第4节对本文进行总结。
1 预分析
1.1 天线构型
本文设计方法适用的天线构型为模块化天线，该天线由多个模块构成，各模块的包络图形为六边形，模块化天线整体结构与单模块支撑结构如图2 所示。
该模块化天线具有以下特点：
（1）天线骨架拟合面为球面；
（2）各模块拟合面的几何中心点与模块肋的端点均位于拟合面上；
（3）所有模块中，肋的长度相等；
（4）各模块之间的间隙距离相等。
1.2 设计流程
1.2.1 模型简化
图 3 模块化天线整体支撑骨架结构侧视图Fig.3 Side view of the overall supporting framework of the modular antenna |
图 4 模块化天线整体支撑骨架结构斜视图Fig.4 Oblique view of the overall supporting framework of the modular antenna |
1.2.2 设计框架
2 上层拓扑结构生成
2.1 最小单元的几何性质
如图8 所示，假设球面上已经存在3个点A、B、C且满足AB=AC，此时需要寻找点D，使A、B、C、D四个点构成前述的空间四边形，则点D为点A关于球心O、点B与点C所决定平面的镜像点。
2.2 生成规则
2.2.1 中心模块节点
2.2.2 生成节点并建立肋
在中心模块节点已确定的情况下，即可通过最小组成单元的几何性质逐级向外生成节点。如图10 所示，点$ {P}_{1} $ 、$ {P}_{2} $ 、$ {P}_{3} $ 可以构成一个空间四边形的三个顶点，根据最小组成单元的几何性质，点$ {P}_{4} $ 的位置即可确定；同理，其他位置的节点位置也可按此方法确定。
将新获得的节点与旧节点连接，即可得到若干条肋；在此基础上，继续使用最小组成单元的几何性质逐级生成节点，即可得到天线上层构型。部分节点生成过程（俯视图）如图11 所示。
在节点生成过程中，存在一种特殊情况，如图12 （a）所示。在其次级节点的建立中，不存在已知三个顶点的空间四边形，即所有待生成的空间四边形只有两个已知顶点，如图12 （b）所示。
针对特殊情况需要引入额外的约束，如图13 （a）所示，三个空间四边形的内角$ \alpha $ 、$ \beta $ 、$ \gamma $ 之和为$ 2{\text π} $ ；为保证各空间四边形的边长均相等，则需满足$ \beta = \gamma =(2{\text π} -\alpha )/2 $ 。需要注意的是，$ \alpha \neq 2{\text π} /3 $ 且其值会根据天线设计参数的改变而改变，因此$ \beta $ 和$ \gamma $ 的值需要通过上式计算得出。引入角度约束后，即可得到特殊情况的次级节点与肋，如图13 （b）所示。
3 节点更新
3.1 理想条件下的约束不相容问题
本文的目标是获得所有模块肋长与模块间隙相等的天线构型，但理想构型存在约束不相容问题。图14 为两模块的邻接情况：AB'与AC'为模块A的两条肋，与中心模块的两条肋相邻；两模块间存在间隙c，其值为两模块相邻边B'C'到B''C''的距离。将两模块相邻肋由中心向外延长，分别交于B、C两点，观察三角形ABC与三角形AB'C'，可得$ \Delta \text{ABC}\approx \Delta $ AB'C' ，由几何关系，可得：
式中，$ \theta $ 为模块两肋间的夹角。
由式（1）可以看出，$ \theta $ 是关于c的余弦函数，当$ \theta \in [0,{\text π} ] $ 时，c与$ \theta $ 的值存在唯一对应关系。
理想情况下，天线构型要求所有模块的肋长度与模块间隙均相等。此时，模块肋长度、模块间隙与模块肋夹角的对应关系：若所有模块肋与模块间隙相等，则所有模块肋夹角也必然相等。由于模块的包络图形为六边形，每个模块包含6条肋，满足理想条件的所有模块肋夹角均为60°，模块包络图形为正六边形，天线拓扑构型问题演化为使用正六边形拟合球面的问题。而正六边形无法拟合球面，因此严格等肋长且严格等间隙的天线拓扑构型不存在。基于此，后续将进行等间隙不等肋长与等肋长不等间隙两种情况的研究。
3.2 上层节点更新
在无间隙的上层构型基础上，通过更新所有节点坐标即可在模块之间生成间隙，具体分为两种情况：
（1）等间隙不等肋长。如图15 所示，若要形成完全等间距的间隙，可按如下步骤求解：取某两相邻模块的临边及组成该临边的节点，在线段AB上寻找一点D，使点D到直线BC的距离等于$ C/2 $ ，再将点D沿球心到点D的方向投影到球面上，如图16 所示。
对两个模块相接肋的节点进行上述更新后，即可得到肋与节点更新后的位置，此时两模块之间的间隙生成完毕（如图17 所示）。对所有节点进行上述坐标更新，即可得到等间隙不等肋长的天线上层构型。
（2）等肋长不等间隙。如图18 所示，若要生成完全等肋长的含间隙模型，可按如下步骤求解：取某一模块的7个节点，以中心节点为球心，$ (L-C)/2 $ 为半径作交界球，该球面与拟合球面交线为交界圆；由球心、模块中心节点与待更新节点确定的平面$ \beta $ ，与交界圆有两个交点，其中距离待更新点较近的交点，即为更新后的点位置坐标。对所有节点进行上述坐标更新即可得到等肋长不等间隙的天线上层构型。
3.3 下层节点生成
4 结 语
本文提出的模块化天线支撑桁架骨架结构的设计方法，可根据设定的规则由中心到边缘生成上层拟合面的各节点，形成无间隙的上层构型。通过几何分析可知，严格等肋长且严格等间隙的理想构型不存在；在此基础上，分别面向“等间隙不等肋长”“等肋长不等间隙”两种情况设计了节点更新方法，在模块间预留间隙后得到天线上层构型。在此基础上，使用投影法得出下层拟合面的节点，最终得到了天线骨架结构。经测试，本文方法能够得到较为理想的构型参数。其中，在等间隙不等肋长情况下，模块最长肋与最短肋的差值为肋长度误差，设为$ \Delta L $ ；在等肋长不等间隙情况下，最大间隙与最小间隙的差值为模块间隙误差，设为$ \Delta C $ 。以拟合球面半径150 000 mm、模块直径15 000 mm、模块数量61的天线结构为例，不同模块间隙下各模块肋长度误差与模块间隙误差如表1 所示。
表 1 指定参数下各肋长度Table 1 Rib lengths under specified parameters |
| 模块间隙 | 等间隙不等肋长/mm 肋长度误差 | 等肋长不等间隙 模块间隙误差 |
| 0 | 0 | 0 |
| 100 | 1.700 889 | 1.473 378 |
| 200 | 3.401 859 | 2.946 757 |
| 300 | 5.102 904 | 4.420 135 |
| 400 | 6.804 028 | 5.893 514 |
| 500 | 8.505 228 | 7.366 892 |
拟合结果显示，在拟合球半径与模块直径相同的条件下，模块间隙越大，肋长度误差与模块间隙误差也越大；当模块间隙为0时，所有模块的肋长均相等。当天线单个模块直径为15 000 mm且模块间隙取值为500 mm时，使用等间隙不等肋长的设计方法，结构肋长度误差约为8.5 mm，约占天线单个模块尺寸的5.67‱。使用等肋长不等间隙的设计方法，结构模块间隙误差约为7.4 mm，约占天线单个模块尺寸的4.93‱。在工程应用中，通常两者均处于允许误差范围之内。由此可见，该方法的拟合结果中，天线各模块肋的长度与模块间隙在允许的误差范围内可视为相等，能够同时满足模块化天线的折展需求与模块间结构的安装需求。