0 引言
主动振动控制（Active Vibration Control，AVC）技术已广泛应用于航天器高分辨率遥感相机、精密光学仪器及空间引力波探测等尖端载荷的微振动抑制领域[1-4]。由于航天器在轨运行时，反作用轮、飞轮及控制力矩陀螺等旋转部件会产生多频段、高幅值的微振动干扰，传统的被动隔振技术在低频段往往难以达到理想的衰减效果，而AVC技术利用相消干涉原理，能够针对特定频率和宽带扰动实现更高效的抑制[5]。在实际的航天器AVC系统中，滤波误差最小均方差（Filtered-x Least Mean Square，FxLMS）算法因其结构简单、鲁棒性强而成为最常用的控制策略。然而，受限于航天器严苛的能源供给和载荷空间，主动执行器（如音圈电机或压电陶瓷）的控制信号极易超过其额定功率，特别是在空间环境参数变化或扰动增强的情况下，过驱动不仅会导致输出饱和与非线性畸变，甚至可能造成昂贵的精密硬件发生永久性损坏[6]。
为了解决上述执行器饱和问题，学术界已开发出多种具备输出约束的自适应算法，如漏失FxLMS[7]、重缩放FxLMS[8]和最小输出方差自适应算法（Minimum Output Variancemov FxLMS，MOVFxLMS）[9]。然而，在航天工程实践中，漏失FxLMS的约束效果高度依赖于漏失因子的选择，目前尚缺乏针对特定空间执行器功率限制的量化计算指导[9]。重缩放FxLMS虽然能限制输出幅值，但往往以牺牲隔振性能为代价，且需人工设定阈值，难以适应在轨运行中复杂的时变工况[10]。相比之下，MOVFxLMS算法能实时估计外部扰动方差并动态调整惩罚因子，在严格限制输出功率的同时最大化振动削减效果，对航天器非平稳振动具有良好的适应性[11]。
尽管现有的MOVFxLMS算法在输出功率约束方面表现优异，但其本质上仍属于基于有限冲激响应（Finite Impulse Response，FIR）滤波器的线性控制策略。当航天器隔振系统的初级或次级路径存在非线性特性（如高精度指向机构的摩擦、电磁执行器的非线性电磁力或传感器非线性引起的非线性特性）时，传统的线性算法难以实现满意的微振动抑制效果。沃尔泰拉（Volterra）滤波器作为线性FIR滤波器的一种重要非线性扩展，已被成功应用于非线性主动噪声控制系统，并发展出Volterra滤波参考最小均方差算法（Volterra Filtered-x Least Mean Square，VFxLMS）[12-13]。然而，现有VFxLMS算法及其改进形式普遍未考虑输出信号饱和及输出功率约束机制，在实际应用尤其是高幅值扰动控制场景下，仍存在主动控制作动器过驱动的风险，限制了其实际部署应用。
为了克服现有MOVFxLMS和VFxLMS算法在航天器复杂应用场景下的局限性，本文提出一种基于Volterra非线性滤波的输出功率约束的主动隔振算法（Minimum Output Variance Filtered-x Least Mean Square，MOV-VFxLMS）。该算法旨在有效解决由航天执行器输出饱和、传感器非线性传输路径以及空间高增益扰动引起的控制性能退化问题。Volterra滤波器作为线性FIR滤波器的强力非线性扩展，能够以较低的参数规模实现对航天器隔振系统中复杂非线性环节的精确逼近。通过将Volterra非线性建模与最小输出方差（Minimum Output Variance，MOV）功率约束框架相结合，本文算法不仅能灵活调节控制器的输出功率，确保执行器在安全范围内运行，还能在处理如飞轮扰动等非平稳、非线性干扰时，显著提升AVC系统的振动抑制性能。本文将详细阐述MOV-VFxLMS算法的理论推导过程，并通过模拟航天器典型微振动环境的仿真案例，验证该算法在功率限制下的优越性。本文结构如下：第1节阐述MOV-VFxLMS算法的实现原理与推导过程；第2节通过仿真算例验证MOV-VFxLMS算法相较于传统VFxLMS算法和MOVFxLMS算法的优越性；第3节为实验验证；第4节给出简要结论。
1 输出功率约束的非线性主动隔振算法
1.1 最小均方差输出自适应算法原理
MOVFxLMS算法的原理如图1 所示。图1 中，$ P\left(z\right) $ 表示参考信号$ x\left(k\right) $ 至误差信号$ e\left(k\right) $ 的主通路传递函数，其中参考传感器一般安装于振源附近，误差传感器安装于主动振动控制目标位置。$ S\left(z\right) $ 为控制器输出$ y\left(k\right) $ 到误差信号$ e\left(k\right) $ 的次级通路传递函数。$ \hat{S}\left(z\right) $ 为次级通路$ S\left(z\right) $ 的估计模型，采用有限脉冲响应模型或无限脉冲响应模型表示，通常通过离线或在线辨识方法获取。$ y'\left(k\right) $ 和$ \hat{y}'\left(k\right) $ 分别为控制器输出经$ S\left(z\right) $ 和$ \hat{S}\left(z\right) $ 滤波后的信号。$ d\left(k\right) $ 为未施加主动振动控制时目标位置的原始振动信号。$ \hat{d}\left(k\right) $ 为$ d\left(k\right) $ 的估计值，由$ \hat{y}'\left(k\right) $ 和$ e\left(k\right) $ 重构得到。$ x'\left(k\right) $ 为经$ \hat{S}\left(z\right) $ 滤波的参考信号。$ {\hat{y}'}_{m}\left(k\right) $ 为以$ x'\left(k\right) $ 为输入信号时的控制输出信号。$ {e}_{m}\left(k\right) $ 为重构的误差信号，由$ {\hat{y}'}_{m}\left(k\right) $ 和$ \hat{d}\left(k\right) $ 计算得到。
对于MOVFxLMS算法，控制器输出信号$ y\left(k\right) $ 的求解方式与FxLMS算法相同：
式中，$ \boldsymbol{w}\left(k\right)={\left[\begin{array}{cccc}{w}_{0} & {w}_{1} & \cdots & {w}_{L-1}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}} $ 为MOVFxLMS算法控制器权系数向量，$ \boldsymbol{x}\left(k\right)={\left[\begin{array}{cccc}{x}_{0} & {x}_{1} & \cdots & {x}_{L-1}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}} $ 为控制器的抽头延迟参考输入状态向量，$ L $ 为控制器的长度。
设$ \hat{S}\left(z\right) $ 为H阶FIR滤波器，则输出信号$ \hat{y}'\left(k\right) $ 可表示为：
式中，$ \hat{\boldsymbol{s}}\left(k\right)={\left[\begin{array}{cccc}{\hat{s}}_{0} & {\hat{s}}_{1} & \cdots & {\hat{s}}_{H-1}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}} $ 为次级通道估计权系数向量。
控制器输出信号$ \hat{y}_{m}^{'}\left(k\right) $ 可表示为：
重构误差信号$ {e}_{m}\left(k\right) $ 可表示为：
代价函数表示为：
式中，$ \alpha \left(\alpha \geqslant 0\right) $ 为惩罚因子，用于调节控制器输出信号功率。
基于式（5），控制器权系数的更新过程可表示为：
式中，$ \mu $ 为控制器权系数更新的步长因子。
在式（6）中，步长因子$ \mu $ 对控制器性能的影响与FxLMS算法相同。惩罚因子$ \alpha $ 的取值对控制器的输出功率有显著影响。具体表现为，$ \alpha $ 过小则不足以约束控制器的输出功率，$ \alpha $ 过大则导致控制器输出功率过度受限，进而导致AVC系统减振性能难以有效发挥。
为解决上述问题，文献[14]将控制器输出功率约束问题转化为拉格朗日优化问题，并推导出了变惩罚因子$ \alpha \left(k\right) $ 的求解过程：
式中，N为求解惩罚因子$ \alpha \left(k\right) $ 所需的采样长度，$ {\rho }^{2} $ 为控制器允许的最大输出功率，$ {\hat{G}}_{s}\left(k\right) $ 可表示为：
式中，$ {\varepsilon }_{1} $ 和$ {\varepsilon }_{2} $ 均为无穷小的正数，用于确保式（8）的分子和分母非零。
基于上述推导，式（6）所示的控制器权系数更新过程可改写为式（9）：
然而，现有的MOVFxLMS算法仍基于线性FxLMS算法框架，难以有效应对含非线性传递路径的AVC问题。
1.2 输出功率约束的非线性主动隔振算法原理
针对MOVFxLMS算法在处理非线性输入或传递路径时存在的AVC性能不足的问题，引入非线性滤波是一种可行的解决思路。Volterra滤波能够将非线性系统近似为多阶线性滤波器的卷积组合，具有参数少、实现简单、求解效率高等优点。为此，本文提出一种基于Volterra滤波的MOVFxLMS算法，该算法能够在保证控制器输出功率可调的同时，提升非线性输入或传递路径下的主动振动控制性能。MOV-VFxLMS算法的结构如图2 所示。
在图2 中，控制器输出$ y\left(k\right) $ 为：
式中，$ \boldsymbol{x}\left(k\right)\in {\mathbf{R}}^{L\times 1} $ 和$ {\boldsymbol{w}}_{l}\left(k\right)\in {\mathbf{R}}^{\boldsymbol{L}\times \mathbf{1}} $ 分别为MOV-VFxLMS控制器的延迟参考输入状态向量和控制器权系数，其表达形式与式（1）相同。
在MOV-VFxLMS算法中，Volterra滤波信号$ \left[\boldsymbol{x}\left(k\right)\right]\in {\mathbf{R}}^{L\times \left(L+1\right)} $ 可采用二阶Volterra滤波器表示：
根据式（4）和式（5），可将式（9）给出的控制器权系数$ {\boldsymbol{w}}_{l}\left(k\right) $ 更新为：
式中，$ {\boldsymbol{f}}_{l}\left[\boldsymbol{x}'\left(k\right)\right] $ 和$ {\boldsymbol{f}}_{l}\left[\boldsymbol{x}\left(k\right)\right] $ 可由式（11）计算得到。
1.3 计算复杂度分析
计算复杂度是反映AVC算法实时性能的重要指标。设次级通路长度为H，则传统MOVFxLMS算法的复杂度约为$ \mathrm{O}\left(L+NH\right) $ ，MOV-VFxLMS算法的计算复杂度约为$ \mathrm{O}\left({L}^{2}+NH\right) $ 。虽然与MOVFxLMS算法相比，MOV-VFxLMS算法牺牲了一定的计算资源，但其能够更好地应对AVC系统中的非线性问题。因此，这种计算复杂度的牺牲是必要的。
2 仿真验证
本节通过仿真算例验证MOV-VFxLMS算法在控制器输出功率约束性能、非线性输入处理及传递路径适应性方面的有效性，并将其AVC性能与传统FxLMS算法、MOVFxLMS算法进行对比。所有算法的仿真实验均在Intel Core i7 2.3 GHz计算机上完成。
2.1 算例1：时变输入
在算例1中，输入信号可表示为：
式中，$ N=5 $ 为本算例中的频率分量个数，$ \boldsymbol{f}=\left[\begin{array}{ccccc}10 & 30 & 60 & 80 & 120\end{array}\right] $ 为各余弦分量的频率值，白噪声通过设置信噪比为10 dB添加。
为验证MOV-VFxLMS算法的有效性，设置信号幅值为时变形式。信号幅值$ A\left(k\right) $ 在0~3 s内设为2，在3~6 s内线性增加至5，在6~9 s内突变为4。采用频率$ {f}_{s}=4\;000 $ Hz。
主通路$ P\left(z\right) $ 与次级通路$ S\left(z\right) $ 的传递函数分别为：
不同主动控制算法的参数设置如下：
（1）对于FxLMS算法，步长$ \mu =0.08 $ ，控制器长度$ L=20 $ ；
（2）对于MOVFxLMS算法，步长$ \mu =0.08 $ ，控制器长度$ L=20 $ ，控制器最大允许输出功率$ {\rho }^{2}=25 $ ；
（3）对于MOV-VFxLMS算法，步长$ {\mu }_{1}=0.08 $ ，$ {\mu }_{2}=1\times {10}^{-4} $ ，控制器长度$ L=20 $ ，控制器最大允许输出功率$ {\rho }^{2}=100 $ 。
时变信号输入下，无控制状态、采用FxLMS、MOVFxLMS和MOV-VFxLMS四种主动控制算法时，系统的时域、频域和控制器输出功率结果如图3 所示。取残余振动最后2 000个采样点计算平均均方误差（Mean Squared Error，MSE）分别为−0.964 5 dB、−15.134 8 dB、−10.763 2 dB和−20.256 1 dB。在同一台计算机上测试时，FxLMS、MOVFxLMS与MOV-VFxLMS的运行时间分别为0.283 s、0.725 s和1.452 s。
由仿真结果可知，与FxLMS算法相比，MOVFxLMS算法能够有效控制控制器的输出功率，但其AVC性能较FxLMS算法略有下降。当$ {\rho }^{2}=25 $ ，性能下降约5 dB；而本文提出的MOV-VFxLMS算法与FxLMS算法相比，AVC性能提升约5 dB，同时控制器输出功率更低。
对比MOVFxLMS算法与MOV-VFxLMS算法可知，通过改变最大允许输出功率$ {\rho }^{2} $ 的取值，可以灵活调节控制器的输出功率。相较于MOVFxLMS算法，MOV-VFxLMS算法在适当增大最大允许输出功率后，能够显著提升AVC性能。当$ {\rho }^{2}=100 $ 时，可以实现约10 dB的减振性能提升。上述仿真结果表明，MOV-VFxLMS算法在提升AVC性能与约束控制器输出功率两方面均具有良好的性能优势。
在计算成本方面，MOVFxLMS算法的计算量约为FxLMS算法的2.7倍，MOV-VFxLMS算法的计算量约为MOVFxLMS算法的2.0倍。然而，从控制性能来看，FxLMS算法在增加输出功率约束后性能明显下降，而本文MOV-VFxLMS算法在保证输出功率约束的前提下，仍能提升AVC性能。因此，在MOV-VFxLMS算法中牺牲一定的计算效率是必要的。
2.2 算例2：非线性传输路径
在算例2中，参考输入信号$ x\left(k\right) $ 为宽带随机信号。为进一步验证MOV-VFxLMS算法的有效性，仍设置信号幅值随时间变化。具体而言，信号幅值在0~3 s内设为3，在3 s时突变为2，在3~6 s内从2线性时变至5，在6 s时突变为4，并在6~9 s内保持为4。
为增加仿真环境的复杂度，主通路中参考输入$ x\left(k\right) $ 与输出$ d\left(k\right) $ 之间的映射关系设为：
次级通路$ S\left(z\right) $ 的传递函数采用Hammerstein滤波器进行模拟，以表征次级通道的非线性特性：
式中，$ {y}_{nl}\left(k\right) $ 为控制器输出$ y\left(k\right) $ 经反正切非线性相信后的信号，同时也是次级通道$ S\left(z\right) $ 的输入信号。
不同主动控制算法参数设置如下：
（1）对于FxLMS算法，步长$ \mu =1\times {10}^{-3} $ ，控制器长度$ L=20 $ ；
（2）对于MOVFxLMS算法，步长$ \mu =1\times {10}^{-3} $ ，控制器长度$ L=20 $ ，控制器最大允许输出功率$ {\rho }^{2}=25 $ ；
（3）对于MOV-VFxLMS算法，步长$ {\mu }_{1}=1\times {10}^{-3} $ ，$ {\mu }_{2}=1\times {10}^{-5} $ ，控制器长度$ L=20 $ ，控制器最大允许输出功率$ {\rho }^{2}=25 $ 。
非线性传递函数下，无控制、采用FxLMS、MOVFxLMS和MOV-VFxLMS四种主动控制算法的时域、频域和控制器输出功率结果如图4 所示。取残余振动最后2 000个采样点的MSE分别为4.786 8 dB、−0.335 8 dB、0.725 1 dB、−4.537 7 dB。在同一台计算机上，FxLMS、MOVFxLMS与MOV-VFxLMS的运行时间分别为0.253 s、0.682 s和1.376 s。
由图4 及MSE结果可知，与FxLMS算法相比，MOV-VFxLMS算法在非线性传输路径下能够更好地抑制复杂振动，实现约4 dB的AVC性能提升，同时控制器输出功率也低于FxLMS算法。
与MOVFxLMS算法相比，在最大允许输出功率$ {\rho }^{2} $ 取值相同的情况下，MOV-VFxLMS算法可实现约5 dB的AVC性能提升。从控制器输出功率结果来看，在相同的最大允许输出功率$ {\rho }^{2} $ 下，MOV-VFxLMS算法的控制器输出功率略高于传统MOVFxLMS算法，但其仍能实现良好的控制器输出功率约束，因此该结果也是可接受的。
在计算成本方面，MOVFxLMS算法的运行时间约为FxLMS算法的2.7倍，MOV-VFxLMS算法的运行时间约为MOVFxLMS算法的2.0倍，且MOV-VFxLMS算法的AVC性能仍优于FxLMS算法。该仿真结果与算例1一致。
3 实验验证
3.1 实验台搭建
为了进一步验证本文所提MOV-VFxLMS算法在航天器微振动主动隔振中的有效性，搭建了某型飞轮在轨微振动主动隔振系统地面模拟实验装置，如图5 所示。
3.2 主动隔振实验
为了验证MOV-VFxLMS算法在航天器在轨环境下的实际隔振性能，开展了基于某型飞轮扰动的主动隔振实验验证，分别模拟了飞轮在3 000 RPM和6 000 RPM两种典型工况下的定速运行状态。实验中，主动隔振平台需同时应对飞轮产生的高频倍频扰动，以及由作动器磁路和支撑结构引起的非线性传递特性。需要说明的是，由于六自由度隔振平台在各维度上的控制逻辑具有相似性，受限于论文篇幅，本节重点展示并讨论x方向的主动隔振性能。
在飞轮转速为3 000 RPM时，无控制、采用FxLMS、MOVFxLMS和MOV-VFxLMS四种主动控制算法的时域、频域和控制器输出功率结果如图6 所示。取残余振动最后2 000个采样点计算平均MSE分别为−15.046 3 dB、−20.033 2 dB、−23.021 5 dB、−35.894 1 dB。在同一台计算机上，FxLMS、MOVFxLMS与MOV-VFxLMS的运行时间分别为0.283 3 s、0.762 4 s和1.602 4 s。
在该工况下，扰动频率相对稳定，但非线性路径导致传统线性FxLMS算法仅能提供约5 dB的衰减；MOVFxLMS虽引入了功率约束，性能略有提升；而本文提出的MOV-VFxLMS算法表现较好，MSE达到了−35.8941 dB，较线性MOVFxLMS进一步提升了12.8726 dB。这表明Volterra滤波器能有效补偿航天隔振系统中的非线性环节。
在飞轮转速为6 000 RPM时，无控制、采用FxLMS、MOVFxLMS和MOV-VFxLMS四种主动控制算法的时域、频域和控制器输出功率结果如图7 所示。取残余振动最后2 000个采样点计算平均MSE分别为−5.991 5 dB、−16.043 7 dB、−18.029 3 dB、−32.667 5 dB。在同一台计算机上，FxLMS、MOVFxLMS与MOV-VFxLMS的运行时间分别为0.284 1 s、0.783 2 s和1.635 7 s。
从实验结果可以看出，随着飞轮转速提升至6 000 RPM，扰动能量显著增强，无隔振状态下的振动水平大幅上升（−5.990 0 dB）。在此严苛工况下，传统算法的性能受到执行器输出功率和非线性的双重制约，提升空间有限；MOV-VFxLMS算法依然表现出极强的鲁棒性，将振动水平压低至−32.667 5 dB，实现了超过26.000 0 dB的主动增益，较线性MOVFxLMS进一步提升了14.6382 dB。
实验结果表明，在航天器微振动控制中，MOV-VFxLMS算法不仅能够通过最小输出方差机制防止作动器过驱动，更利用非线性滤波结构突破了线性控制的性能瓶颈。在不同频率的飞轮扰动下，该算法均展现出了远优于传统算法的隔振深度与稳定性，完全满足高精度航天载荷对微振动抑制的要求。
4 结 语
本文针对航天器在轨运行中面临的复杂非线性微振动环境，提出了一种基于Volterra滤波的可变步长MOV-VFXLMS算法。该算法通过融合非线性建模与功率约束机制，同步解决了航天器主动隔振系统中的非线性传输路径补偿与执行器输出功率限制两大核心问题。仿真和实验结果表明，在模拟航天器飞轮扰动的时变工况及非线性传输路径下，MOV-VFXLMS算法的振动抑制性能较传统FxLMS算法有较大提升。相比于性能随输出约束增加而大幅退化的传统算法，MOV-VFxLMS在确保执行器（如自感知音圈执行器）严格运行在额定功率范围内的同时，依然能保持高效的微振动衰减能力。通过动态调整最大允许输出功率$ {\rho }^{2} $ ，该算法能够灵活适配不同型号航天执行器的物理特性，实现隔振性能与硬件负载的最佳平衡。
然而，MOV-VFxLMS的计算成本确实高于传统MOVFxLMS算法，但考虑到其在处理航天器复杂非线性扰动时的显著优势，这种计算资源的投入对于保障高精度遥感等任务的稳定性是十分必要的。针对星载计算机计算资源受限的特点，后续研究将重点关注非线性滤波器的稀疏化设计、频域卷积加速技术以及更高效的非线性滤波结构，旨在进一步降低算法的计算复杂度，推动该技术在卫星平台上的工程化部署。