0 引 言
微波加热开采技术是一种高效的月球水冰开采方法，主要装置包括微波发生器、微波天线和冷阱。微波发生器利用微波电源、磁控管和激励腔产生连续、稳定的大功率微波，通过天线发射至月球表面。微波加热下方的含冰模拟月壤使水蒸气升华，之后被冷阱捕获收集。相较于依赖热传导的传统加热方式，微波能够穿透导热性差的月壤干燥层，作用于深处的含冰月壤，从而有效解决了传统方法因导热性不足而导致的加热深度有限的问题[3]。此外，微波发生装置具有结构简单、体积小巧、重量轻便等优点，是极具潜力的月球水冰开采方案。
针对微波加热开采技术，目前仅有Ethridge等[11]在2012年进行了仿真研究，使用有限元软件分析了微波在月壤中的传播特性及其加热效果。研究结果表明，相较于传统的表面加热方式，微波加热不仅具有更大的加热范围，而且能够实现更为高效快速的加热，验证了微波加热技术在月球水冰开采中的优越性。
Ethridge等[11]的模型虽然考虑了电磁加热效应和热传导，验证了微波对月壤的加热能力，但未考虑月壤中水冰的相变和渗流过程，也未考虑含冰月壤和干燥月壤物理性质的不同，无法得到开采水冰的质量和开采效率，也无法反映真实的物理过程。
在现有研究的基础上，本文主要关注宏观尺度的微波加热开采月球水冰的过程，重点考虑电磁场、传热和相变过程，构建了描述微波加热开采月球水冰数学模型，并通过有限元软件对开采过程进行数值模拟。
1 理论基础与数学模型
1.1 含冰月壤的基本性质
月壤主要由各种矿物和岩石碎屑组成，颗粒形态极不规则，平均粒径约为70 μm，颗粒密度约为3.10 g/cm3，在0~60 cm深度范围内的平均堆积密度约为1.66 g/cm3[12]。由于微波的波长和加热范围远大于月壤颗粒的尺寸，因此在研究宏观尺度的开采过程时，可以基于多孔介质理论，将月壤的物理性质进行平均化处理，将其视为连续介质，并忽略颗粒的运动。
水冰可能以多种形态存在于月壤当中，目前尚无确切的结论。实验研究表明，冻结模拟月壤的热学和力学性能受含水率的影响显著：含水率越高，导热系数越大[13]。基于多孔介质理论，含冰月壤的性质可以通过对月壤和水冰各自参数的体积平均或质量平均估算。考虑到水冰主要填充于月壤颗粒间的孔隙，因此含冰月壤的导热系数ks可以表示为月壤导热系数kr和水冰导热系数kice的叠加：
式中，vice为水冰的体积占比。
总的等效导热系数ke还需要考虑孔隙中水蒸气的导热系数kg：
月壤颗粒间的传热主要涉及热传导和热辐射两种方式，其传热特性受到颗粒间的接触面积、孔隙大小以及颗粒本身的热物理性质等因素的影响。在宏观尺度上，月壤的导热系数表现为孔隙度$\phi $ 和温度T的函数，并包含代表热辐射贡献的${T^3}$ 项。月壤的导热系数可以通过对玄武岩粉末导热系数的拟合公式计算：
式中，kr的单位为mW/（m·K），温度T的单位为K[14]。
水冰的导热系数是温度的函数，可以通过下式计算得到：
式中，kice的单位为W/（m·K），温度T的单位为K[15]。
孔隙中水蒸气的导热系数与努森数Kn有关，可以通过下式计算得到：
式中，k0,g是水蒸气在常压下的导热系数，系数β=1.59[16]。努森数Kn是一个无量纲数，定义为气体分子平均自由程与流场特征长度的比值，与孔隙直径和气体压力有关。
含冰月壤的等效体积比热容为：
式中，${\rho _{b,r}}$ 为月壤堆积密度，Cp,r为月壤的比热容，$ {\rho _{b,{\text{ice}}}} $ 为月壤中水冰的密度，Cp,ice为水冰的比热容，$\phi $ 为孔隙度，${\rho _g}$ 为水蒸气的密度，Cp,g为水蒸气的比热容。
等效相对介电常数通过体积加权平均得到：
式中，${\varepsilon _r}$ 为月壤相对介电常数，${\varepsilon _{{\text{ice}}}}$ 为水冰相对介电常数。由于水冰的相对介电常数为${\varepsilon _{{\text{ice}}}} = 3.2 - {{i}}0.003$ ，5 wt%的水冰对月壤的介电损耗因数影响约为0.3%，可以忽略不计。因此可以认为相对介电常数在开采过程中保持恒定，等效相对介电常数即为月壤相对介电常数。
1.2 电磁场控制方程
微波是电磁波谱中特定频段的电磁波，其在介质中的传播可以使用麦克斯韦方程组描述：
式中，D为电位移矢量，E为电场强度，B为磁感应强度，H为磁场强度，$ {\rho _e} $ 为自由电荷体密度，J为自由电流密度[17]。
介质中的总电磁损耗功率密度为：
式中，σ为电导率，ω为角频率，ε0为真空介电常数，μ0为真空磁导率[17]。
1.3 传热控制方程
传热过程主要包括热传导、热对流和热辐射三种基本形式。其中，热传导过程包括固体颗粒之间的直接接触传热以及气体传热。热对流则是月壤中水蒸气流动所引起的热量传递，本文模型不考虑热对流。热辐射主要表现为颗粒间的热辐射发射与吸收过程。在本文模型中，颗粒间热辐射等效为热传导的一部分，叠加在导热系数中。因此，传热控制方程可以表示为：
式中，QE为微波加热热源，Qp是相变吸热或放热的等效热源[10]。
1.4 相变控制方程
升华速率可以使用真空中纯冰平面的标准方程计算：
式中，Ss为单位面积纯冰平面的升华速率，Mw为水分子的摩尔质量，$ R $ 为理想气体常数[20]。
同时考虑升华和凝华，并假设冰的比表面积与月壤颗粒的比表面积相等，从而可以确定总相变速度为：
式中，S0为月壤的比表面积[10]。当给定温度下的水蒸气压力低于该温度下的饱和蒸气压（即P<Pv）时，S为正，升华速率大于凝华速率，水冰升华；当P>Pv时，S为负，凝华速率大于升华速率，水冰凝华。
相变控制方程为：
相变过程还伴随能量变化，升华过程会吸收热量，而凝华过程会释放热量。相变热可以等效为一个热源：
式中，L为冰的升华潜热[16]。升华吸热时，Qp为负；凝华放热时，Qp为正。
2 仿真模型
本文采用有限元软件COMSOL Multiphysics进行仿真。该软件提供多种物理场接口，并支持自定义表达式，能够利用有限元法求解单个或多个物理场的偏微分方程，实现全耦合或分离计算。COMSOL内置多种求解算法，并支持并行计算，有较高的计算效率。
基于相对介电常数在开采过程中保持不变的假设，电磁场与温度场是单向耦合关系，仅通过电磁损耗产生热量影响温度场。因此，本文首先通过求解电磁场获得电磁损耗功率密度的分布，随后将其作为热源输入至传热-相变模型中，模拟含冰月壤的微波加热开采过程。需要注意的是，模型中不考虑水蒸气的流动。
2.1 电磁场仿真模型
本文首先构建了三维电磁场仿真模型，以求解微波在月壤中的传播和损耗情况。假设月面为半无限平面，计算域为设置为半径0.367 m、深度为1.000 m的圆柱形区域。天线表面设置为理想电导体，月壤表面设置为二阶散射边界。微波输入端口位于天线的上端，输入功率2000 W，模式为TE11，频率为2.45 GHz。根据TE11模式的特性，电场关于E面对称，因此为简化计算，仅取一半模型并设置对称面为零切向磁场边界条件，如图1 所示。天线参数和材料参数见表1 。整个计算域被划分为95695 个六面体单元，如图2 所示，并使用电磁波-频域接口进行计算。
表 1 电磁场仿真模型参数Table 1 Electromagnetic field simulation model parameters |
2.2 传热-相变仿真模型
本文以双模圆锥喇叭天线为中心，构建了天线正下方含冰月壤的二维轴对称传热-相变模型。计算区域设定为天线正下方半径0.367 m、深度为1.000 m的圆柱形区域，如图3 所示。月壤上表面设为绝热边界，侧面和下表面设为等温边界，温度恒为环境温度。区域内压力恒为环境压力，等于初始温度条件下水的饱和蒸气压。
在电磁场仿真中，E面和H面的电磁功率损耗密度QE取平均值，作为传热仿真的体热源输入。由于QE与输入的微波功率成正比，因此只需计算一个参考输入功率对应的QE，即可按比例计算得到其他输入功率对应的QE。
为了研究不同功率输入对开采效率的影响，本文分别对200、500、1000 和2000 W四种功率输入情况下的开采过程进行了仿真。具体材料参数和仿真参数见表2 。计算域被划分为6400 个四边形单元，如图4 所示。使用多孔介质传热接口和偏微分方程接口计算，仿真总时间为10000 s。
表 2 传热-相变仿真模型参数Table 2 Heat transfer-phase change simulation model parameters |
| 参数/单位 | 符号 | 值 |
| 月壤颗粒密度/（kg/m3） | ρp,r | 3 100[12] |
| 月壤堆积密度/（kg/m3） | ρb,r | 1 660[12] |
| 月壤比表面积/（m2/kg） | S0 | 500[24] |
| 水冰含量/wt% | c0 | 5 |
| 水冰真密度/（kg/m3） | ρp,ice | |
| 月壤比热容/（J/(kg·K)） | Cp,r | |
| 水冰比热容/（J/(kg·K)） | Cp,ice | |
| 水冰升华潜热/（J/mol） | L | |
| 环境温度/K | T0 | 110 |
3 仿真结果与分析
3.1 电磁场仿真结果
3.2 传热-相变仿真结果
从图9 还可以看出，在使用2000 W功率输入的情况下，10000 s时该点温度已经超过1500 K，达到了月壤的初始熔点（1373 K）[26]，这将导致月壤熔化。熔融的月壤可能会渗透进入孔隙，阻塞水蒸气通道，降低月壤的渗透率，不利于水蒸气的收集。此外，月壤熔化意味着大量能量浪费，因此在开采过程中应该尽量避免使局部温度过高，以免超过月壤熔点。
4 结 语
本文构建了微波加热开采月球水冰的数学模型，通过将电磁场与其他物理过程解耦，分别建立了电磁场模型和传热-相变模型，并使用有限元软件COMSOL Multiphysics对不同功率输入下的开采过程进行了仿真。仿真结果揭示了以下四点：
（1）微波加热的最大深度与微波的穿透深度基本一致，有效加热范围为电场强度模值大于表层值的1/e倍的区域，且该区域可被喇叭天线完全覆盖。
（2）在相同时间内，随着输入功率的增大，开采范围由靠近天线的表层区域逐渐扩展至整个有效加热区域。
（3）开采的水冰质量与微波输入功率成正比关系，但在低功率情况下，因热传导效应的存在，实际开采的水冰质量有所减少。
（4）在输入功率为2000 W 时，加热10000 s可提取高达1717.4 g的水冰，与相同条件下的传统加热棒开采方法相比，提取量提高了10倍。但过高的输入功率也可能导致表层月壤温度过高，使月壤融化。
本文为微波加热开采月球水冰的实验设计和工程应用提供了理论支持，对优化微波加热系统的功率配置提高开采效率具有重要的指导意义。需要指出的是，本文仅考虑了理想情况，即没有水蒸气的流动和颗粒运动，所有水蒸气均被立即收集，比热容和水冰升华潜热直接决定了开采这些水冰所需的能量。因此，本文的仿真结果代表了在特定输入功率下可开采的水冰质量的上限。在后续研究中，应引入水蒸气输运模型和颗粒运动模型，并进行开放空间的大范围微波加热开采水冰实验，以进一步深入探讨这一问题。