0 引言
地外空间中存在大量携带能量和多维信息的带电粒子，这些粒子对宇航活动造成干扰和损伤效应，同时蕴含基础科学研究与利用价值。2024年4月，中国航天大会发布了本年度十大宇航领域科学问题和技术难题，“空间带电粒子的操控机理与方法”位列其中。深入研究在复杂空间环境下宽能谱带电粒子群的操控机理与方法，对提高极端环境服役下宇航活动的安全性、开发和利用空间带电粒子资源具有重要意义。宽能谱带电粒子群的操控机理与方法为理解和处理多种能量状态下的粒子行为提供了基础框架，其所涉及的原理与实现方法，如利用电磁场进行粒子筛选、聚焦与引导等，均属于带电粒子束操控技术（the charged beam manipulation technology）的研究范畴。带电粒子束操控技术的研究对象为带电粒子束，重点关注其 “成型”与“维持”问题[1]。通过增加带电粒子之间的横向距离，能够有效地减小带电粒子间库伦斥力对束流发散角的影响，这是带电粒子束扩束系统的设计目的。
在带电粒子束产生与传输装置（例如大型粒子加速器）中，磁铁扮演着不可或缺的角色，研究者通过设计和控制磁场分布实现对带电粒子束流的精准引导和聚焦[2]。磁铁组的设计难度大，主要体现在涉及参数众多（材料选择、构型、几何尺寸、空间分布、造价）[3]，对单一参数的改变往往“牵一发而动全身”，材料、几何，包括电磁控制方程的非线性使得问题求解困难。传统的设计方法依赖大量的试错实验与人工调试工程经验[4]。近年来随着信息技术的发展，利用计算机辅助的数学优化方法解决工程问题成为一种被广泛采用且行之有效的先进方法[5]，其中最具有代表性的优化方法是遗传算法（genetic algorithm）。1998年，瑞士科学家Russenschuck等提出了利用遗传算法设计大型强子对撞机的超导加速器磁铁的想法[6]。2011年，佛罗里达大学的Arnold等利用遗传算法优化了永磁铁阵列的拓扑结构，该结构易于制造且能提供良好的磁学性能[3]。2018年，Ren等开发了一种便携式MRI设备，该设备中磁环阵列的几何形状和位置是由遗传算法辅助设计[7]。2020年，Liu等利用遗传算法对医用质子治疗仪在束流线方向的磁铁进行了优化设计，使得束流的同心度大幅提高，且横向偏移降低[8]。
目前大多数采用遗传算法设计加速器磁铁组的工作通常基于二级设计的理念，即先利用磁场强度/强度梯度或有效磁路长度等束线参数进行遗传算法优化设计，再将获得的束线参数分解为可工程化的磁铁参数。然而，初次获得的束线参数可能并不具备工程化可实现性，从而造成大量且不必要的返工设计，严重损耗了设计资源。
对于只含有永磁铁的装置，采用基于假设的物理模型同有限元模拟方法获得的结果相比，在相对准确的前提下能节省大量的计算时间和计算资源，性价比较高[7]，基于此，本文提出了一种基于遗传算法的扩束磁铁组设计方法。利用四极磁铁磁场分布理论和束流光学基本原理，在优化过程中充分考虑了磁铁的加工参数对最终出口束斑尺寸的影响，获得了易于工程化的扩束磁铁组加工参数。相较于传统方法，本方法计算准确、耗时较短且可调用性强。本文主要分为三部分内容：首先通过具体算例验证四级磁铁理论模型，为后续模型的开发提供前提；其次建立束流光学传输矩阵，获得出口束斑和磁铁组设计参数的定量关系；最后利用遗传算法，获得满足限制条件下的最优设计参数。本文的研究背景属于束流动力学领域，随着带电粒子束技术的应用越来越广泛，本文提出的设计方法有望为空间使用环境下的束流产生与传输装置的搭建工作提供指导。
1 模型建立
1.1 扩束磁铁分析
如图1 （a）所示，本文采用的四极磁铁由16个磁化方向不同的永磁铁拼接组成，采用该种方式制成的磁铁也被称为海尔贝克磁环，其尺寸见如图1 （b）所示。根据丹麦技术大学Bjørk等于2010年发展的针对海尔贝克磁环的二维磁场分布理论[9]，在极坐标下内径圆域内的磁通密度可以表示为（斜四级磁铁）
为了在后续神经网络优化中取得较好的结果，我们以内外径为特征长度对以上三个量进行归一化，得到外内半径之比$\varepsilon $ 以及厚度与内半径之比$w$ 。
通过对式（1）进行坐标变换可以得到笛卡尔坐标系下的磁通密度空间分布，当观测点在第一象限或第三象限时，$\phi = {\text{atan}}(y/x)$ ，则有
而当观测点在第二象限或第四象限时，$\phi = {\text{atan}}(y/x) + \text π $ 。二维平面内笛卡尔坐标系下的磁感应强度梯度（正四极磁铁的关键磁参数，正四极磁铁与斜四极磁铁在空间布局上相差45°）可以表示为
二维磁场理论假设四极磁铁极面长度无限，没有考虑实际极面长度为有限值时的真实情况，特别是当磁铁“宽而薄”时，二维理论和实际测量结果就会存在不可接受的误差，如图2 （a）所示。例如针对磁感应强度梯度，二维理论认为在内半径区域内该数值为常数，其值等于中心点处的数值$ \partial {B}_{x}/\partial {y}_{(2D，中心点)} $ （利用式（3）计算得到），而实际该数值沿着半径方向是变化的。为了对二维理论进行修正，本文规定了以下修正系数。
横向截面的中心点磁感应强度梯度的修正系数为$\alpha $ ，横向截面的磁感应强度梯度沿半径方向的变化系数分别为$ {c_0}、{c_1}、{c_2} $ ，有效磁路长度修正系数为$\beta $ 。3个参数分别定义为
式中，本文$L$ 为有效磁路长度，其数值大小为图2 （b）阴影矩形的长度。
采用神经网络算法，建立不同磁铁尺寸与修正系数的非线性映射对应关系，具体设置方法如下。
（1）明确典型的参数优化范围。
1）内半径大于5 mm，小于120 mm，即$ 5{\text{\ mm}} \leqslant {R_i} \leqslant 120{\text{\ mm}} $ ；
2）外内半径之比大于10/9，小于5/2，$10/9 \leqslant \varepsilon \leqslant 5/2$ ；
3）厚度与内半径之比大于0.1，小于4，即$0.1 \leqslant \omega \leqslant 4$ ；
4）剩磁强度在0.9 T到1.4 T之间，即$ 0.9{\text{T}} \leqslant {B_r} \leqslant 1.4{\text{T}} $ 。
（2）在该范围内随机生成1000组磁铁尺寸信息作为输入集，利用式（3）计算四极磁铁的二维关键磁参数$ \partial {B_x}/\partial {y_{(2D)}} $ 。
（3）计算输入集对应的三维海尔贝克磁环的空间磁感应强度分布数值仿真解，并计算四极磁铁的三维关键磁参数$ \partial {B_x}/\partial {y_{(3D)}} $ 。
（4）分别计算输入集对应的轴向见图2 （c）和横向平面内见图2 （d）的修正系数。
（a）四极磁铁三维空间内的结构参数
（b）磁铁磁场强度/强度梯度沿着磁铁轴线方向的强度变化
（c）磁铁轴向修正系数（输出参数）同磁铁尺寸（输入参数）的神经网络拓扑结构
（d）磁铁横向平面内修正系数（输出参数）同磁铁尺寸（输入参数）的神经网络拓扑结构。
将输入集对应的修正系数作为输出集，利用神经网络训练得到输入集到输出集之间的非线性映射关系，如图3 所示。具体为轴向参数映射网络$ (\varepsilon ,w) \to (\alpha ,\beta ) $ ，以及径向参数映射网络$ (\varepsilon ,w) \to \left( {{c_0},{c_1},{c_2}} \right) $ 。两种网络均为BP神经网络结构，包含了一层隐含层，共30个神经元。训练次数最大为1000 次，迭代终止条件为验证数据20次没有提升时退出训练。
如图3 所示，轴向与横向平面的神经网络训练均取得了较好的效果：均方根误差MSE经过800次迭代计算后可收敛到10−6以下，相关系数为1，表明输入集和输出集的线性关系较好。
以一组四极磁铁尺寸为例，验证网络计算效果：四极磁铁内半径为14.9 mm，外半径为25.3 mm，厚度为25.7 mm，材料为充磁强度为0.92 T，磁导率为1.03的钐钴磁铁。如图4 所示，神经网络计算的其中心位置的磁感应强度梯度$ \partial{B_x}/\partial y = 39.46\ {\text{T}}/{\text{m}} $ ，而仿真解为$ \partial{B_x}/\partial y = 39.59\ {\text{T}}/{\text{m}} $ ，误差在3%。由于磁感应强度梯度在极坐标系具有旋转对称的特征，本方法在计算四极磁铁磁场空间分布的效果较好，从中心到周围，磁感应强度梯度缓慢增加。
1.2 束流光学分析
本文利用4块四极磁铁对加速器出口处的束流进行扩展，并压缩其发散角。四极磁铁间为没有任何带电粒子光学元件的漂移段，长度记为${d_n}$ ，在该段上带电粒子进行不受任何径向力的直线运动。基于带电粒子束光学[10]中的相关约定，第$n$ 段漂移段的传输矩阵为
带电粒子在四极磁铁中受到的$x$ 方向和$y$ 方向横向力可以表示为${F_x} = - {F_y} = (qe/P) \cdot (\partial {B_y}/\partial x)$ 。这里令$k = \sqrt {\left| {{F_x}} \right|} $ ，第$n$ 组四极磁铁在$x$ 方向聚焦时对应的传输矩阵为
相应的，第n组四级磁铁在$y$ 方向对带电粒子的作用是发散的，对应的传输矩阵可以表示为
假设加速器出束包络半径为$r = 0.001\ {\text{m}}$ ，发散角为${r_{\mathrm{p}}} = 0.001\ {\text{rad}}$ 。加速器出口处束截面包络内包含$n$ 个带电粒子，其中每个带电粒子的状态相空间矢量为$ \boldsymbol{U}_{0 x}\left[x_{n 0}, x_{n 0}^{\prime}\right]^{\mathrm{T}} $ 与$ \boldsymbol{U}_{0 y}\left[y_{n 0:} y_{n 0}^{\prime}\right]^{\mathrm{T}} $ ，且带电粒子在包络内部随机分布，相空间坐标可以表示为
式中，$\theta = 2{\text π} {\mathrm{rand}}$ ，$\rho = r \cdot {\mathrm{rand}}$ ，$ {\mathrm{rand}} $ 是介于0~1的随机数。扩束磁铁组对入射带电粒子的作用，可以通过利用相空间矢量依次左乘传输矩阵得到：
1.3 遗传算法设计
遗传算法是模拟生物的遗传和进化的过程，形成的自适应全局优化搜索算法。模式是具有相似结构特点的个体编码字符串。遗传算法是对模式进行的一系列运算，即通过选择操作将当前群体中的优良模式遗传到下一代群体中，通过交叉操作进行模式的重组，通过变异操作进行模式的突变。通过这些遗传运算，性状较差的模式被淘汰，而性状优良的模式逐步被遗传和进化，最终可以得到所求解的最优值。
如前所述，四极磁铁的位置信息为$ {{d}}_{1} $ 、${{d}}_{2}$ 、${{d}}_{3}$ 、${{d}}_{4} $ ，4个四极磁铁的内径为${R_{i1}}$ 、${R_{i2}}$ 、${R_{i3}} $ 、${R_{i4}} $ ，其内外径之比分别为${\varepsilon _1}$ 、${\varepsilon _2}$ 、${\varepsilon _3} $ 、${\varepsilon _4} $ ，极面长度与内径之比分别为，控制聚焦与否的状态变量$ {{f}{l}{a}{g}}_{2}$ 、${{f}{l}{a}{g}}_{3}$ 、${{f}{l}{a}{g}}_{4} $ ，因此共有19个需要被优化的设计参数。
目标参数优化范围的确定：
设置遗传算法关键参数：给定初始的种群规模${N_{\mathrm{p}}} = 50$ ，交叉概率${P_{\mathrm{c}}} = 0.8$ ，变异概率${P_{\mathrm{m}}} = 0.1$ ，终止进化代数$G = 200$ ，采用二进制编码模式，位串长度$L = 323$ 。${\varepsilon _1},{\varepsilon _2},{\varepsilon _3},{\varepsilon _4}$ ，每个参数的二进制位串长度为$20$ ；控制聚焦与否的状态变量${{fla}}{{{g}}_2},\ {{fla}}{{{g}}_3},\ {{fla}}{{{g}}_4}$ 每个二进制位串长度为1。
遗传算法的适应度函数定义如下：
式（9）的物理意义为n个装置末端带电粒子到中心点平均距离的倒数，该数值越大，则最终的束斑包络尺寸越小。当算法不满足终止条件时，则根据适应度进行选择、交叉和变异操作，直到满足进化代数$G = 200$ ，这时获得一组优化后的参数。为了让优化结果满足束斑两个方向的相对差距在20%以内，需要进行多次优化，将满足要求的结果留下并保存。对于多组优化后的参数，取适应度函数最大的那组为最终优化结果。
2 结果分析
利用遗传算法获得的扩束磁铁组的最终优化参数如表1 所示。
表 1 扩束磁铁组几何与位置信息Table 1 Geometry and position information of beam expanding magnet group |
| 磁铁序号 | 扩束模式 | 漂移距离/ mm | 内径/ mm | 内外径比 | 极面长度 内径比 |
| 1 | X聚焦 | 32.60 | 8.7 | 0.8715 | 1.4407 |
| 2 | X聚焦 | 118.74 | 15.3 | 0.8401 | 0.6755 |
| 3 | X散焦 | 119.72 | 34.9 | 0.7668 | 0.4212 |
| 4 | X聚焦 | 156.03 | 45.9 | 0.8090 | 0.3123 |
上文列出了加速器出口处带电粒子的相空间坐标，设某一束斑内有5000 个带电粒子，利用式（8）和表1 的磁铁构型与位置参数可以绘制出该带电粒子群的相空间坐标图谱，如图5 （a）、（b）所示。束流在扩束磁铁组中沿着$x$ 方向和$y$ 方向的轨迹如图5 （c）、（d）所示，可以看出，本文设计的扩束磁铁组能够很好地完成扩束的功能。针对X方向，扩束磁铁的模式分别为聚、聚、扩、聚，在z=0.12 m处，带电粒子群中所有的带电粒子都聚焦在YOZ平面上，随后发生一次翻转。针对$y$ 方向，扩束磁铁的模式分别为扩、扩、聚、扩，带电粒子的运动没有发生翻转。如图5 （e）所示，带电粒子的相空间椭圆发生较大倾斜，在扩束磁铁出口处束斑在$x$ 方向的最大坐标为$ 0.005\ 7\ {\text{m}} $ ，放大5.7倍，而$x$ 方向的最大发散角为$ 0.000\ 2\ {\text{rad}} $ ，压缩5倍。如图5 （f）所示，$y$ 方向的最大坐标为$ 0.005\ 3\ {\text{m}} $ ，放大5.3倍，而$y$ 方向的最大发散角为$ 0.000\ 18\ {\text{rad}} $ ，压缩超过5倍。在XOY平面内，磁铁组入口的带电粒子束束斑半径为1 mm，而经过本装置出口的带电粒子束斑在X方向尺寸在5.7 mm以上，Y方向在5.3 mm以上，因此束斑面积扩大约30倍。
图 5 带电粒子束相空间图谱（a）~（b）入口处带电粒子束X与Y方向的相空间图谱，横纵坐标分别表示初始带电粒子位置与发散角（c）~（d）扩束磁铁组内部X与Y方向上的束流轨迹（图中四个蓝色的矩形方块代表四个扩束磁铁的物理位置）（e）~（f）出口带电粒子束X与Y方向相空间图谱Fig.5 The charged beam phase space maps (a)~(b) Phase space maps of the charged beams in X and Y directions at the entrance, with the horizontal and vertical coordinates representing the initial electron position and divergence angles (c)~(d) respectively. Beam trajectories in X and Y directions inside the beam expanding magnet group (four blue rectangular squares in the figure represent the physical positions of the four beam expanding magnets). (e)~(f) Phase Space Spectra of Exit the charged beam in X and Y directions |
为了与理论计算方法进行对比，本文进行了有限元仿真验证。利用表1 的参数，通过在商业软件中进行建模，束流轨迹与扩束前后束斑尺寸对比如图6 所示。可以看到扩束后X方向束斑尺寸为5.6 mm，Y方向为5.2 mm，基本与理论计算结果一致，束斑面积扩大约30倍。
最后在磁场优化计算耗时方面，针对该算例本方法耗时在1 s内，有限元算法求解需要近1 min，因此本方法针对大规模磁铁磁场计算优势显著。针对遗传算法种群数量为100，进化代数取200，一共需要20000 个优化算例，耗时估计2周。针对本文采用的方法，一个算例的耗时不到1 s，20000 个优化算例耗时仅需近6 h。
在束流进行输运过程中，由于带电粒子间的空间电荷效应，发散角因库伦斥力增加。通过增加束流初始包络面积，可以减小带电粒子间的库伦斥力，从而减小其对发散角的影响。与此同时，扩束磁铁组更进一步地压缩了发散角，因此对于束流的传输，扩束磁铁组的优化设计十分重要。本文的研究成果对于推动带电粒子束流传输技术的发展具有极其重要的意义，不仅能助力相关领域突破现有技术瓶颈，提升设备性能与应用效果，还将为后续更深层次的带电粒子束流操控研究提供坚实的理论与实践基础，拓展带电粒子束流在更多领域的创新应用前景。
3 结语
本文提出了一种带电粒子扩束磁铁组的智能优化设计方法，该方法能够迅速且准确地获得限制条件下扩束磁铁参数的全局最优解。由于四极磁铁的待优化参数直接被纳入运算过程中，因此获得的优化参数更具有工程化价值。针对具体的算例，利用该方法设计的磁铁组能够将加速器束斑面积扩张30倍以上，发散角压缩5倍左右，扩束效果显著。展望未来，随着物理科研边界的不断拓展，在诸如极端天体物理模拟、高能物理前沿实验等极端使用环境下，束流产生与传输装置的构建面临着严苛挑战。本文提出的智能优化设计方法有望成为解决这些挑战的关键技术路径，为推动束流输运技术在极端条件下的应用与突破提供坚实的理论与技术指导，进而助力科学研究在相关领域发展，为探索未知物理世界提供强有力的技术保障。