空间科学与试验学报

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2025 , Vol. 2 >Issue 1: 112 - 123

DOI: https://doi.org/10.19963/j.cnki.2097-4302.2025.01.014

三体绳系卫星系统释放动力学与模型预测控制

  • 王宇哲 ,
  • 罗操群 ,
  • 陈提 ,
  • 韦正涛 ,
  • 金栋平 ,
  • 胡海岩
展开
  • 南京航空航天大学航空航天结构力学及控制全国重点实验室, 南京 210016

（2003-），男，博士生，主要从事绳系航天器动力学与控制方面的研究。通信地址：江苏省南京市秦淮区南京航空航天大学航空学院（210016）电子邮箱：

网络出版日期: 2025-04-22

基金资助

国家自然科学基金项目（12494562，12472015，12232011）

收起

Deployment Dynamics and Model Predictive Control of a Three-Body Tethered Satellite System

  • Yuzhe WANG ,
  • Caoqun LUO ,
  • Ti CHEN ,
  • Zhengtao WEI ,
  • Dongping JIN ,
  • Haiyan HU
Expand
  • State Key Laboratory of Mechanics and Control for Aerospace Structures, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China

Online published: 2025-04-22

Fold

摘要

研究三体绳系卫星系统释放展开过程的动力学与控制问题。针对动力学分析和控制，建立了两类模型：一是计入主卫星与系绳的相对姿态运动，基于哑铃模型假设建立了面向控制器设计的系统简化模型；二是计入系绳柔性和卫星姿态，基于弹簧质点模型假设建立了面向动力学分析的系统精细模型。为实现三体绳系卫星编队系统的稳定释放，提出了一种综合控制策略。首先，针对释放过程中系统的复杂状态与控制输入约束，基于简化模型设计了一种非线性模型预测控制方法，采用非线性规划方法求解得到系绳弹性力与推进力的参考控制曲线。为修正轨迹跟踪过程产生的控制误差，提出一种比例-微分反馈控制器来稳定系统姿态和构型。最后，通过数值仿真分析了系统释放过程的非线性动力学行为，验证了控制策略的有效性。

关键词： 绳系卫星编队; 释放动力学; 模型预测控制; 反馈控制

本文引用格式

王宇哲 , 罗操群 , 陈提 , 韦正涛 , 金栋平 , 胡海岩 . 三体绳系卫星系统释放动力学与模型预测控制[J]. 空间科学与试验学报, 2025 , 2(1) : 112 -123 . DOI: 10.19963/j.cnki.2097-4302.2025.01.014

Abstract

This paper investigates the dynamics and control challenges associated with the deployment of a three-body tethered satellite system. For dynamic analysis and control purposes, two types of models are established. Initially, the relative attitude motion between the main satellite and the tether is considered, leading to the establishment of a simplified system model for controller design based on the dumbbell model assumption. Moreover, considering the flexibility of the tether and the satellite attitude, an accurate system model for dynamic analysis was established based on the spring-mass model assumption. In order to achieve the stable deployment process of the three-body tethered satellite formation system, a synthetic control strategy is proposed. First, taking into account the complex state of the system and the control input constraints during the deployment process, a nonlinear model predictive control method is proposed based on a simplified model. The control trajectory for the tether's elastic force and propulsion force is solved by the nonlinear programming method. To address the the control error resulting from trajectory tracking, a proportional-differential feedback controller is proposed to stabilize the system attitude and configuration. Finally, numerical simulations are presented to analyze the nonlinear dynamic behavior of the system during the deployment process and to verify the effectiveness of the control strategy.

Key words： tethered satellite formation; deployment dynamics; model predictive control; feedback control

0 引 言

空间光学高分辨率对地观测技术已经成为国防安全、地图测绘、资源普查、环保减灾和城市规划等军民用领域获取信息的重要手段[1]。空间分辨率表示两个相邻探测目标间的最小可分辨尺寸，其数值越高，表示目标信息越详尽[2-3]。卫星编队飞行技术通过飞行器分块组合展开方式，能够有效增大光学系统的焦距和孔径，从而显著提升空间分辨率。在此基础上，采用绳系卫星编队（Tethered Satellite Formation, TSF）技术构建合成孔径对地观测望远镜成为可能，系绳连接的编队卫星作为载荷平台装载探测装置，利用系绳实现探测器的长基线稳定保持。该方法具有减少推进剂消耗、易于实施和可重构等优点[4-5]。典型的TSF系统是指由三颗或更多颗卫星通过长系绳连接形成的空间飞行系统[6-7]。在进行对地观测时，系统通过释放系绳达到期望构型，继而稳定自旋进行观测工作。然而，释放过程中系绳长度的改变会引起科里奥利加速度，从而加剧系绳的摆动或振动，如果不加以控制则会导致系绳缠绕致使任务失败[8]，系绳弹性力的显著变化也会导致主卫星姿态的大幅度振荡，破坏系统构型[9]。因此，针对绳系卫星编队系统的释放展开动力学与控制研究具有重要意义。
国内外学者对于TSF系统释放展开的动力学与控制策略已进行了广泛而深入的研究。在TSF系统释放动力学研究方面，Jiang等[10]基于系绳刚性杆模型研究了卫星质量不确定性对两体TSF系统释放动力学的影响，发现系绳质量的忽略增加了响应上下界估计误差。Zhang等[11]考虑系统的平面运动，基于两段式哑铃模型，研究了三体TSF系统的释放展开过程，指出通过调整系绳连接点和子卫星构型可有效减小摆动角的共振。Mantri等[12]基于单段式哑铃模型，研究了初始分离速度、系绳弹性力和轨道高度等参数对两体TSF系统释放动力学的影响。Jung等[13]针对三体TSF系统，研究了其在不同初始姿态和轨道等条件下的动力学响应，分析了系统在释放与回收过程的动力学响应差异。在TSF系统释放控制研究方面，Wen等[14]提出了考虑系统状态和控制输入约束的模型预测控制（Model Predictive Control, NMPC）律，实现了两体TSF系统的稳定释放。Yu等[15]考虑TSF系统的平面运动，提出了基于数据驱动方法的最优控制律，有效抑制了系统释放过程的系绳摆动。Tragesser等[16-17]提出了TSF系统的最小时间释放控制律，可将展开过程的面外振荡限制在容许范围内。Zhao等[18]研究了$N$体轴辐式TSF系统三维展开运动的稳定性，指出除了张力控制外还应对子卫星施加推力，以保持系绳张紧并抑制系绳振动。Huang等[19]基于三体TSF系统的平面简化模型，通过优化方法规划主卫星的控制力矩，实现了系绳的匀速稳定释放。Liu等[20]考虑平面自旋展开过程，设计了一种基于非线性滑模控制方法的张力展开控制器，可在无子卫星推进力情况下稳定展开$N$体轴辐式TSF系统。然而，上述大部分研究仅基于系绳简化模型开展，未考虑系绳柔性与刚体卫星的刚柔耦合效应。
本文研究三体轴辐式绳系卫星编队（Three-body Hub-spoke Tethered Satellite Formation，THTSF）系统在近地轨道的释放展开动力学与控制问题。在动力学建模过程中，首先基于哑铃模型假设，将系绳视为无质量刚性杆，并考虑主卫星与系绳的相对姿态运动，通过第二类拉格朗日方程，建立系统的简化动力学模型。另外，考虑系绳与卫星的刚柔耦合作用，基于弹簧质点模型假设，将系绳视为一系列质量集中于节点处的弹簧-阻尼单元，引入四元数非奇异化表达主卫星姿态运动，通过牛顿第二定律和欧拉方程建立系统的精细动力学模型。面向实际释放展开过程，提出了一种综合控制策略。在释放阶段，基于简化模型，设计系统非线性模型预测控制（Nonlinear Model Predictive Control，NMPC）器[21-23]，离散求解系统状态约束下的最优释放轨迹与控制输入。释放至期望绳长度后进入调整阶段，采用子卫星控制力与主卫星控制力矩的比例-微分（Proportional-Derivative，PD）控制器稳定系统姿态和构型。基于精细动力学模型，对释放展开过程的不同阶段进行仿真算例研究分析，以验证所设计控制器的有效性。

1 动力学建模

如图1所示，运行于轨道上的THTSF系统由一颗主卫星和通过两根系绳分别连接的两颗子卫星组成。定义以下两个坐标系：（1）${O_I}{X_I}{Y_I}{Z_I}$为地心惯性坐标系，其坐标原点$ {O_I} $位于地球质心，${O_I}{X_I}$轴在赤道平面内指向春分点，${O_I}{Z_I}$轴与地球自转轴重合，${O_I}{Y_I}$同样位于赤道平面内，并与${O_I}{X_I}$轴和${O_I}{Z_I}$轴组成右手正交坐标系；（2）$ {O_H}{X_H}{Y_H}{Z_H} $为轨道坐标系，其坐标原点${O_H}$位于主卫星的质心位置，$ {O_H}{X_H} $轴由地球质心指向坐标原点${O_H}$，${O_H}{Y_H}$轴朝速度方向，${O_H}{Z_H}$轴垂直于轨道平面，并与$ {O_H}{X_H} $轴和${O_H}{Y_H}$轴构成右手正交坐标系。
图 1 THTSF系统轨道

Fig.1 Orbit of the THTSF system

1.1 哑铃简化模型

如图2所示，运行于地球轨道上的THTSF系统由一颗主卫星$ {\boldsymbol{M}} $、两颗子卫星${S_1}$和$ {S_2} $，以及两根连接主子卫星的系绳组成。在建立双段式哑铃简化模型时，引入以下四个假设：（1）系统仅在轨道面内运动，系统的质心在不受扰动的开普勒圆轨道上运动；（2）考虑主卫星姿态而忽略子卫星姿态，将子卫星视为质点；（3）主卫星质量远大于子卫星质量，即系统质心大致与主卫星质心重合；（4）将系绳视为无弹性、无质量的刚性杆[24]。
图 2 THTSF系统简化模型

Fig.2 Simplified model of the THTSF system

基于上述假设，选取主卫星转角$\alpha $、两系绳的摆角$ {\beta }_{1}、{\beta }_{2} $和系绳长度$ {l}_{1}、{l}_{2} $作为广义坐标进行动力学建模。
在轨道坐标系$ {O_H}{X_H}{Y_H}{Z_H} $下描述系统，${\boldsymbol{i}}$、${\boldsymbol{j}}$和${\boldsymbol{k}}$分别为沿轴${O_H}{X_H}$、${O_H}{Y_H}$和${O_H}{Z_H}$的单位向量，则主卫星和子卫星的位置向量表示为：
$ {{\boldsymbol{R}}_M} = R{\boldsymbol{i}} $
$ {{\boldsymbol{R}}_i} = R{\boldsymbol{i}} + {{\boldsymbol{r}}_i} $
且有
$ \begin{aligned}{{\boldsymbol{r}}_i} = {x_i}{{\boldsymbol{e}}_x} + {y_i}{{\boldsymbol{e}}_y} = &\left[ {r\cos \alpha + {l_i}\cos \left( {\alpha + {\beta _i}} \right)} \right]{\boldsymbol{i}} + \\&\left[ {r\sin \alpha + {l_i}\sin \left( {\alpha + {\beta _i}} \right)} \right]{\boldsymbol{j}} \end{aligned}$
式中，$r$为主卫星质心到出线口的距离。
将位置向量对时间求导数，得到它们的速度向量：
$ {{\boldsymbol{v}}_M} = {\dot {\boldsymbol{R}}_M} = \Omega R{\boldsymbol{j}} $
$ {{\boldsymbol{v}}_i} = {\dot {\boldsymbol{R}}_i} = \Omega R{\boldsymbol{j}} + {\dot {\boldsymbol{r}}_i} $
式中，$ \Omega = {\left( {{\mu _E}/{R^3}} \right)^{1/2}} $为系统绕地球运动的轨道角速度：
$\begin{aligned} {{\dot r}_i} = &\left\{ - r\dot \alpha \sin \alpha - \left( {\dot \alpha + {{\dot \beta }_i}} \right){l_i}\sin \left( {\alpha + {\beta _i}} \right) + \right.\\ &\left.{{\dot l}_i}\cos \left( {\alpha + {\beta _i}} \right) - \Omega {y_i} \right\}{\boldsymbol{i}}+ \\ &\left\{ \Omega {x_i} + r\dot \alpha \cos \alpha + \left( {\dot \alpha + {{\dot \beta }_i}} \right){l_i}\cos \left( {\alpha + {\beta _i}} \right) +\right. \\ &\left.{{\dot l}_i}\sin \left( {\alpha + {\beta _i}} \right) \right\}{\boldsymbol{j}} \end{aligned} $
由式（6）得到系统动能表达式为：
$ T=\frac{1}{2}{m}_{M}{{\boldsymbol{v}}}_{M}\cdot {{\boldsymbol{v}}}_{M}+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{2}m{{\boldsymbol{v}}}_{i}\cdot {{\boldsymbol{v}}}_{i}+\frac{1}{2}J{(\dot{\alpha }+\Omega )}^{2} $
考虑到$\left| {{{\boldsymbol{r}}_i}} \right| \ll R$，系统势能可写为：
$ \begin{aligned}U=&-\frac{{\mu }_{E}{m}_{M}}{\left|{{\boldsymbol{R}}}_{M}\right|}-\sum _{i=1}^{2}\frac{{\mu }_{E}{m}_{i}}{\left|{{\boldsymbol{R}}}_{i}\right|}=-\frac{{\mu }_{E}{m}_{M}}{R}-\sum _{i=1}^{2}\frac{{\mu }_{E}{m}_{i}}{\left|{{\boldsymbol{R}}}_{M}+{{\boldsymbol{r}}}_{i}\right|}\approx \\&-\frac{{\mu }_{E}{m}_{M}}{R}+\sum _{i=1}^{2}\frac{{\mu }_{E}{m}_{i}}{{R}^{3}}\left({x}_{i}R-{x}_{i}^{2}+\frac{1}{2}{y}_{i}^{2}\right)\end{aligned} $
系统的拉格朗日函数为：
$ L = T - U $
系统的第二类拉格朗日方程表达式为：
$ \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}t}}\left( {\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot q}_j}}}} \right) - \left( {\frac{{\partial L}}{{\partial {q_j}}}} \right) = {Q_{{q_j}}},{\text{ }}j = 1,2,3,4,5 $
引入如下无量纲变换：
$ \gamma=\frac{J}{m_Mr^2},\xi_i=\frac{l_i}{r},\tilde{\Omega}=\frac{\Omega}{\dot{\alpha}_0},\tau=\dot{\alpha}_0t,()'=\frac{\text{d}()}{\mathrm{d}\tau}=\frac{1}{\dot{\alpha}_0}\frac{\text{d}()}{\text{d}t} $
将式（1）~（9）代入式（10）并结合式（11），得到THTSF系统的无量纲动力学方程为：
$ \begin{split}&\left[\gamma + \sum _{i=1}^{2}\left({\xi }_{i}^{2}+1+2{\xi }_{i}\mathrm{cos}{\beta }_{i}\right)\right]{\alpha}''+\\&\qquad\sum _{i=1}^{2}\left[{\xi }_{i}\left(\mathrm{cos}{\beta }_{i}+{\xi }_{i}\right){{\beta }''}_{i}+\mathrm{sin}{\beta }_{i}{{\xi }''}_{i}\right] +\\&\qquad\sum _{i=1}^{2}\left[2{{\xi }^{\prime }}_{i}{\xi }_{i}\left({\alpha }^{\prime }+{{\beta }^{\prime }}_{i}+\tilde{\Omega }\right)+2{{\xi }^{\prime }}_{i}\left({\alpha }^{\prime }+{{\beta }^{\prime }}_{i}+\tilde{\Omega }\right)\mathrm{cos}{\beta }_{i}-\right. \\ &\left. \qquad{\xi }_{i}{{\beta }^{\prime }}_{i}\left(2{\alpha }^{\prime }+{{\beta }^{\prime }}_{i}+2\tilde{\Omega }\right)\mathrm{sin}{\beta }_{i}\right] +\\&\qquad3{\tilde{\Omega }}^{2}\sum _{i=1}^{2}\left[{\xi }_{i}\mathrm{sin}\left(2\alpha +{\beta }_{i}\right)+{\xi }_{i}^{2}\mathrm{sin}\left(\alpha +{\beta }_{i}\right)\mathrm{cos}\left(\alpha +{\beta }_{i}\right)\right]+\\&\qquad 6{\tilde{\Omega }}^{2}\mathrm{sin}\alpha \mathrm{cos}\alpha =\sum _{i=1}^{2}{\tilde{F}}_{i}\left({\xi }_{i}+\mathrm{cos}{\beta }_{i}\right)\\[-1pt]\end{split} $
$ \begin{aligned}[b] \xi _i^2{{\beta ''}_i} &+ \left( {\xi _i^2 + {\xi _i}{\mathrm{cos}} {\beta _i}} \right)\alpha '' + 2{\xi _i}{{\beta '}_i}\left( {\alpha ' + {{\beta '}_i} + \tilde \Omega } \right) + \\ & {\xi _i}{\mathrm{sin}} {\beta _i}\left( {2\tilde \Omega \alpha ' + {\alpha ^2}} \right)+ 3{{\tilde \Omega }^2}\left[ \xi _i^2{\mathrm{sin}} \left( {\alpha + {\beta _i}} \right)\right. \\ & \left.{\mathrm{cos}} \left( {\alpha + {\beta _i}} \right) +{\xi _i}{\mathrm{cos}} \alpha {\mathrm{sin}} \left( {\alpha + {\beta _i}} \right) \right] = {{\tilde F}_i}\xi \end{aligned} $
$ \begin{split} {{\xi ''}_i} & + \alpha ''\sin {\beta _i} - \cos {\beta _i}\alpha '\left( {\alpha ' + 2\tilde \Omega } \right) - {\xi _i}{{\left( {\alpha ' + {{\beta '}_i}} \right)}^2} -\\ & 2\tilde \Omega {\xi _i}\left( {\alpha ' + {{\beta '}_i}} \right) - 3{{\tilde \Omega }^2}\left[\cos \alpha \cos \left( {\alpha + {\beta _i}} \right) + \right.\\ & \left. {\xi _i}{{\cos }^2}\left( {\alpha + {\beta _i}} \right) \right] = - {{\tilde T}_i}\\[-1pt]\end{split} $
且有
$ {\tilde F_i} = \frac{{{F_i}}}{{{m_M}{{\dot \alpha }_0}^2r}},\quad {\tilde T_i} = \frac{{{T_i}}}{{{m_M}{{\dot \alpha }_0}^2r}} $
式中，${F_i}$为作用在子卫星$i$上的侧向喷气力，${T_i}$表示第$i$根系绳的张力。

1.2 珠式精细模型

THTSF系统精细模型充分考虑了柔性系绳与刚体卫星的非线性耦合效应。为准确描述系绳的柔性特性，采用珠式模型假设，将整个系统离散化为一系列弹簧-阻尼器连接的质点，并计入主卫星姿态运动，为描述主卫星的姿态运动，建立主卫星连体坐标系${O_b}{X_b}{Y_b}{Z_b}$（如图3所示），其中三个坐标轴指向与主卫星的三个惯性主轴重合，三轴方向的单位向量分别表示为$ {i}_{b}、{j}_{b} $和$ {k_b} $，主卫星对应轴$ {O}_{b}{X}_{b}、{O}_{b}{Y}_{b} $和${O_b}{Z_b}$的转动惯量分别为$ {J}_{x}、{J}_{y} $和${J_z}$。主卫星$ {\boldsymbol{M}} $与子卫星$ {S_1} $间的系绳为系绳1，主卫星$ {\boldsymbol{M}} $与子卫星$ {S_2} $之间的系绳为系绳2。
图 3 主卫星体坐标系

Fig.3 Body coordinate system of main satellite

描述刚体航天器姿态的常见参数有欧拉角、修正罗德里格斯参数和四元数，采用四元数描述主卫星相对轨道坐标系的姿态转动，可避免描述姿态时的奇异性问题[25]。根据刚体动力学理论，刚体绕定点的任意有限转动可由绕（过该点的）某个轴（称为欧拉轴）的一次有限转动实现。定义主卫星转动的四元数为：
$ {\boldsymbol{p}} = \left[ \begin{gathered} {p_1} \\ {p_2} \\ {p_3} \\ \end{gathered} \right] = {\boldsymbol{e}}{\mathrm{sin}}\frac{{{\vartheta _M}}}{2},\quad {p_0} = \cos \frac{{{\vartheta _M}}}{2} $
式中，$ {\vartheta _M} $为主卫星关于欧拉轴的转动角，$ {\boldsymbol{e}} = {[{e_1}{\text{ }}{e_2}{\text{ }}{e_3}]^T} $表示沿欧拉轴的单位向量。
主卫星的姿态动力学方程可由连体坐标系下的欧拉姿态动力学方程和以四元数表示的姿态运动学方程得到，即：
$ {\boldsymbol{J}}\dot {\boldsymbol{\omega}} = - {\boldsymbol{\omega}} _{}^ \times {\boldsymbol{J}}{\boldsymbol{\omega}} + {\boldsymbol{M}} $
$ \dot {\boldsymbol{p}} = \frac{1}{2}\left( {{\boldsymbol{p}}_{}^ \times + {p_0}{{\boldsymbol{I}}_3}} \right){\boldsymbol{\omega}} ,\quad {\dot p_0} = - \frac{1}{2}{\boldsymbol{p}}_{}^{\text{T}}{\boldsymbol{\omega}} $
式中，$ {{\boldsymbol{J}}_M} = {\mathrm{diag}}({J_x},{J_y},{J_z}) $，$ {\boldsymbol{\omega}} $为主卫星的绝对角速度，$ {\boldsymbol{M}} $为主卫星受到合外力矩，包括重力矩${{\boldsymbol{M}}_G}$、系绳张力力矩${{\boldsymbol{M}}_T}$和控制力矩${{\boldsymbol{M}}_U}$。$ {\left( \ \right)^ \times } $表示向量$ \left( \ \right) $对应的反对称矩阵，如任意向量${\boldsymbol{a}} = {[{a_x}{\text{ }}{a_y}{\text{ }}{a_z}]^T}$对应的反对称矩阵为：
$ {{\boldsymbol{a}}^ \times } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {a_z}}&{{a_y}} \\ {{a_z}}&0&{ - {a_x}} \\ { - {a_y}}&{{a_x}}&0 \end{array}} \right] $
地球作用于主卫星上的重力矩可表示为：
$ \begin{split} {{\boldsymbol{M}}_G} =& \frac{{3{\mu _E}}}{{{{\left| R \right|}^3}}}\left[({J_z} - {J_y})\cos {\theta _2}\cos {\theta _3}{{\boldsymbol{i}}_b} + ({J_x} - {J_z})\cos {\theta _3}\cdot \right. \\ &\left. \cos {\theta _1}{{\boldsymbol{j}}_b} + ({J_y} - {J_x})\cos {\theta _1}\cos {\theta _2}{{\boldsymbol{k}}_b}\right] \\[-1pt]\end{split} $
式中，$ {\theta }_{1}、{\theta }_{2} $和${\theta _3}$为主卫星连体坐标系原点相对地球质心的位置矢量与轴$ {O}_{b}{X}_{b}、{O}_{b}{Y}_{b} $和${O_b}{Z_b}$的夹角。
主卫星所受系绳张力力矩表达式为：
$ {{\boldsymbol{M}}_T} = {{\boldsymbol{d}}_1} \times {{\boldsymbol{T}}_{n,n + 1}} + {{\boldsymbol{d}}_2} \times {{\boldsymbol{T}}_{n + 1,n + 2}} $
式中，${{\boldsymbol{d}}_1}$和${{\boldsymbol{d}}_2}$分别为系绳1和系绳2与主卫星连接点到主卫星质心的位置矢量，$ {{\boldsymbol{T}}_{n,n + 1}} $和$ {{\boldsymbol{T}}_{n + 1,n + 2}} $分别为系绳1和系绳2与主卫星相连单元的张力。
图4为珠式模型示意图。将每根系绳均匀地划分为n个弹簧-阻尼单元，单元质量平均集中于两端节点上，记子卫星$ {S_1} $为节点1，主卫星$ {\boldsymbol{M}} $为节点n+1，子卫星$ {S_2} $为节点2n+1，则系绳上节点依次记为节点2，3，4，···，n-2，n-1，n，n+2，n+3，···，2n-1，2n。
图 4 珠式模型示意

Fig.4 Schematic of the bead model

为描述卫星的位置运动，在轨道坐标系$ {O_H}{X_H} {Y_H}{Z_H} $下，对各节点进行动力学分析。各节点受到的合外力$ {{\boldsymbol{F}}_i} $可分解为重力${{\boldsymbol{G}}_i}$、系绳张力${{\boldsymbol{T}}_i}$和主动控制力${{\boldsymbol{F}}_{Ui}}$
$ {{\boldsymbol{F}}_i} = {{\boldsymbol{G}}_i} + {{\boldsymbol{T}}_i} + {{\boldsymbol{F}}_{Ui}} $
地球作用于质点$ i $上的重力$ {{\boldsymbol{G}}_i} $可表示为：
$ {{\boldsymbol{G}}_i} = - \frac{{{\mu _E}{m_i}{{\boldsymbol{r}}_i}}}{{{{\left| {{{\boldsymbol{r}}_i}} \right|}^3}}} $
系绳作用于质点$ i{\text{ }} $上的张力$ {{\boldsymbol{T}}_i} $可由前后两段系绳单元张力和表示式为：
$ \left\{ \begin{gathered} {{\boldsymbol{T}}_1} = {{\boldsymbol{T}}_{1,2}} \\ {{\boldsymbol{T}}_i} = {{\boldsymbol{T}}_{i,i + 1}} - {{\boldsymbol{T}}_{i,i - 1}},{\text{ }}i = 2,\cdots,2n \\ {{\boldsymbol{T}}_{2n + 1}} = - {{\boldsymbol{T}}_{2n,2n + 1}} \\ \end{gathered} \right. $
而每个系绳单元张力大小可根据开尔文-沃格特（Kelvin-Voigt）弹簧-阻尼器模型表达式为[26]：
$ {T_{i,i + 1}} = EA({\varepsilon _{i,i + 1}} + {c_t}{\dot \varepsilon _{i,i + 1}}) $
式中，$ E $为系绳的杨氏模量，$ A = {\text{π }}{({d_t}/2)^2} $为系绳的横截面积，$ {\varepsilon _{i,i + 1}} = $$ ({l_{i,i + 1}} - {L_{i,i + 1}})/{L_{i,i + 1}} $为第$i$个系绳单元的应变大小，$ {c_t} $为系绳的阻尼系数。
根据牛顿第二定律，可得：
$ {m_i}{\ddot {\boldsymbol{R}}_i} = {{\boldsymbol{F}}_i} $
式中，$ {{\boldsymbol{R}}_i} $为节点$ i{\text{ }}(i = 1,2,3,\cdots 2n + 1) $相对于惯性坐标系原点${O_I}$的位置矢量，它可由轨道系坐标原点${O_H}$相对惯性坐标系原点${O_I}$的位置矢量${\boldsymbol{R}}$与节点$i$相对于轨道坐标系原点${O_H}$的位置矢量${{\boldsymbol{r}}_i}$的矢量和表示。
将式（22）~（25）代入式（26），得到THTSF系统的动力学方程：
$ \left\{ \begin{gathered} {{\ddot x}_i} = 2\Omega {{\dot y}_i} + 3{\Omega ^2}{x_i} + \frac{{{T_{i,x}}}}{{{m_i}}} + \frac{{{F_{Ui,x}}}}{{{m_i}}} \\ {{\ddot y}_i} = - 2\Omega {{\dot x}_i} + \frac{{{T_{i,y}}}}{{{m_i}}} + \frac{{{F_{Ui,y}}}}{{{m_i}}} \\ {{\ddot z}_i} = - {\Omega ^2}{z_i} + \frac{{{T_{i,z}}}}{{{m_i}}} + \frac{{{F_{Ui,z}}}}{{{m_i}}} \\ \end{gathered} \right. $
式中，$ {T_{i,x}} $、$ {T_{i,y}} $和$ {T_{i,z}} $分别为系绳张力$ {{\boldsymbol{T}}_i} $在轨道系$ {O_H}{X_H}{Y_H}{Z_H} $下的分量，$ {F_{Ui,x}} $、$ {F_{Ui,y}} $和$ {F_{Ui,z}} $分别为控制力$ {{\boldsymbol{F}}_{Ui}} $在轨道系$ {O_H}{X_H}{Y_H}{Z_H} $下的分量。

2 控制策略

本节深入探讨THTSF系统的弹射释放过程及其释放完成后的调整阶段。在弹射阶段，首先需要启动弹射装置，为子卫星提供初始动能量，使其在无外力控制的情况下运动一段预定的时间。在此过程中，拉力被设计为接近于零的恒定值，因此系绳的运动对主卫星姿态几乎不产生任何影响。对于释放过程，采用非线性模型预测控制方法，以应对系统约束和高度非线性问题，从而计算出参考释放轨迹及相应的控制输入。由于释放曲线跟踪误差及轨道扰动的存在，还需使用比例-微分控制对主卫星和子卫星的姿态与系统构型进行修正调整，以确保为后续任务提供理想的初始状态。需要注意的是，在进行NMPC控制器设计时，采用了哑铃简化模型，以降低计算难度，提高计算效率。图5给出了系统在弹射释放调整阶段的控制方案流程图。
图 5 控制方案流程

Fig.5 A flowchart of control strategy

2.1 NMPC方法

为便于描述系统动力学及控制器设计形式，将式（12）~（14）改写为如下形式：
$ {\boldsymbol{Mq}}'' + {\boldsymbol{Cq}}' + {\boldsymbol{Kq}} = {\boldsymbol{F}} $
式中，$ {\boldsymbol{q}} = {\left[ {\alpha {\text{ }}{\beta _1}{\text{ }}{\beta _2}{\text{ }}{\xi _1}{\text{ }}{\xi _2}} \right]^{\text{T}}} $为广义坐标向量，$ {\boldsymbol{M}}、{\boldsymbol{C}}、{\boldsymbol{K}} $和${\boldsymbol{F}}$分别为等效质量矩阵、等效阻尼矩阵、等效刚度矩阵和广义力向量。
将式（28）进一步改写为状态空间形式为：
$ \left\{ {\begin{aligned} &{{{x}'_1} = {x_6},{{x}'_2} = {x_7},{{x}'_3} = {x_8},{{x}'_4} = {x_9},{{x}'_5} = {x_{10}}} \\ &{{{\left[ {{{x}'_6}{\text{ }}{{x}'_7}{\text{ }}{{x}'_8}{\text{ }}{{x}'_9}{\text{ }}{{x}'_{10}}} \right]}^{\text{T}}} = {\boldsymbol{q}}'' = {{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}\left( {{\boldsymbol{F}} - {\boldsymbol{C}'} - {\boldsymbol{Kq}}} \right)} \\ &{{{x}'_{11}} = {u_1},{{x}'_{12}} = {u_2},{{x}'_{13}} = {u_3},{{x}'_{14}} = {u_4}} \end{aligned}} \right. $
式中，$ x = \left[ {{x_1}{\text{ }}{x_2}{\text{ }}{x_3}{\text{ }} \cdots {\text{ }}{x_{12}}{\text{ }}{x_{13}}{\text{ }}{x_{14}}} \right]^{\text{T}} = \left[ \alpha {\text{ }}{\beta _1}{\text{ }}{\beta _2}{\text{ }}{\xi _1}{\text{ }}{\xi _2}{\text{ }} \alpha '{\text{ }} {{\beta }'_1}{\text{ }} \right. \left.{{\beta }'_2}{\text{ }} {{{\xi }'_1}{\text{ }}{{\xi }'_2}{\text{ }} {{\tilde F}_1}{\text{ }}{{\tilde F}_2}{\text{ }}{{\tilde T}_1}{\text{ }}{{\tilde T}_2}} \right]^{\text{T}} $为状态向量，$ u = {\left[ {{u_1}{\text{ }}{u_2}{\text{ }}{u_3}{\text{ }}{u_4}} \right]^{\text{T}}} = {\left[ {{{\tilde F'}_1}{\text{ }}{{\tilde F'}_2}{\text{ }}{{\tilde T'}_1}{\text{ }}{{\tilde T'}_2}} \right]^{\text{T}}} $为控制输入向量。通过定义无量纲系绳拉力和子卫星侧向控制力的导数作为控制输入，可以使主动控制力的变化曲线平滑，并且可以避免系绳拉力和控制力出现不合理的不连续性。
将式（29）进一步简写为如下状态空间形式：
$ {\boldsymbol{x}}' = {\boldsymbol{f}}({\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{u}},\tau ) $
通常，NMPC轨迹可由开环非线性最优控制（Open Loop Nonlinear Optimal Control，OLNOC）问题的多次求解计算得到[27]。在NMPC方法中，通过第$n - 1$次MPC计算解决的OLNOC问题的表达式为：
$ \left\{\begin{aligned}&\ \text{find }\left[{\tau }_{n},{\tau }_{n}+{\tau }_{{\mathrm{PH}}}\right]\ni \tau \mapsto \{{\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{u}}\}\\ &\ \text{to minimize }{J}_{{\mathrm{MPC}}}={\int }_{{\tau }_{n}}^{{\tau }_{n}+{\tau }_{PH}}H({\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{u}})\text{d}\tau \\ &\ \text{subject to }{{\boldsymbol{x}}}^{\prime }={\boldsymbol{f}}({\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{u}})\\ &\ {\boldsymbol{x}}\left({\tau }_{n}\right)={\widehat{{\boldsymbol{x}}}}_{n}\\ &\ {\beta }_{L}\leqslant{x}_{2},{x}_{3}\leqslant{\beta }_{U},{\tilde{F}}_{L}\leqslant{x}_{11},{x}_{12}\leqslant{\tilde{F}}_{U},{\tilde{T}}_{L}\leqslant{x}_{13},{x}_{14}\leqslant{\tilde{T}}_{U}\end{aligned} \right.$
其中
$ \begin{aligned} H({\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{u}}) =& {k_1}\left( {{u_1}^2 + {u_2}^2} \right) + {k_2}\left( {{u_3}^2 + {u_4}^2} \right) + {k_3}\left( {{x_2}^2 + {x_3}^2} \right) + \\ &{k_4}\left[ {{{\left( {{x_4} - {\xi _d}} \right)}^2} + {{\left( {{x_5} - {\xi _d}} \right)}^2}} \right] + {k_5}\left( {{x_9}^2 + {x_{10}}^2} \right) \end{aligned} $
$ \left[ {{\tau _n},{\tau _n} + {\tau _{{\mathrm{PH}}}}} \right] $为第$n - 1$个MPC问题的滚动时域，NMPC的预测区间$ {\tau _{{\mathrm{PH}}}} = N{{{\Delta }}_\tau } $被离散为$N$个固定采样区间${\Delta _\tau }$，采样时刻为$ {\tau }_{1}=0，{\tau }_{n}={\tau }_{n-1}+{\text{Δ}}_{\tau }(n\geqslant 2) $，${J_{{\mathrm{MPC}}}}$为代价函数，$H({\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{u}})$为拉格朗日形式的性能指标函数，其中${k_i}(i = 1,2,\cdots,5)$为正常数，${\xi _d}$为期望的无量纲绳长，下标$L$和$U$分别表示相应变量的上界和下界，${\hat x_n}$为采样时刻${\tau _n}$对应的状态反馈的估计值，可通过欧拉方法确定：
$ {\hat {\boldsymbol{x}}_n} = {{\boldsymbol{x}}_{n - 1}} + {{{\Delta }}_\tau }f\left( {{{\boldsymbol{x}}_{n - 1}},{{\boldsymbol{u}}_{n - 1}}} \right) $
式中，${{\boldsymbol{x}}_{n - 1}}$为${\tau _{n - 1}}$时刻的系统状态，${{\boldsymbol{u}}_{n - 1}}$为第$k$个采样间隔$[{\tau _k},{\tau _{k + 1}}]$内施加的控制输入。
为解得最优释放轨迹，通过多区间Legendre-Gauss-Radau（LGR）伪谱方法，将OLNOC问题转换为非线性规划（Nonlinear Programming，NLP）问题[28]。离散NLP问题通过变换$ \nu = \left( {2\tau - {\varepsilon _i} - } \right.\left. {{\varepsilon _{i + 1}}} \right)/\left( {{\varepsilon _{i + 1}} - {\varepsilon _i}} \right) $定义在无量纲时域$\nu \in [ - 1,1]$中，在第$i$个变换的网格区间，$\nu \in [ - 1,1]$，存在$\tilde N + 1$个离散的LGR点${\nu _{i,j}},j = 1,2,\cdots,\tilde N + 1$，包括$\tilde N$个配置点和1个非配置点${\nu _{1,\tilde N + 1}}$。为提高计算效率，第$i$个网格区间内的离散化控制输入${{\boldsymbol{u}}_i}$保持不变，而离散化状态矢量则通过拉格朗日插值法进行近似，其差值近似表达式为：
$ \left\{\begin{aligned} & {\boldsymbol{x}}^{(i)}(\nu)\approx\sum_{j=1}^{\tilde{N}+1}x_i^{(j)}{\boldsymbol{L}}_i^{(j)}(\nu),\nu\in[-1,1] \\ & {\boldsymbol{L}}_i^{(j)}(\nu)=\prod_{1\leqslant k \leqslant \tilde{N}+1,k\ne j}^{ }\frac{\nu-\nu_{i,k}}{\nu_{i,j}-\nu_{i,k}} \\& \nu_{i,\tilde{N}+1}=\nu_{i+1,1},x_i^{(\tilde{N}+1)}=x_{i+1}^{(1)}\end{aligned}\right. $
式中，${\boldsymbol{x}}_i^{(j)}$表示在第$i$个无量纲时域中的第$j$个LGR点对应的状态向量，$ {\boldsymbol{L}}_i^{(j)}(\nu ) $表示拉格朗日插值多项式。
将式（34）代入式（31），得到离散NLP问题的数学表达式为：
$ \left\{\begin{aligned}&\text{find }[-1,1]\ni \nu \mapsto \left\{{{\boldsymbol{x}}}_{i}^{(j)},{{\boldsymbol{u}}}_{i}\right\}\\ &\text{to minimize }{\overline{J}}_{{\mathrm{MPC}}}=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{\tilde{N}}{w}_{i}^{(j)}H\left({{\boldsymbol{x}}}_{i}^{(j)},{{\boldsymbol{u}}}_{i}\right)\\ &\text{subject to }\sum _{j=1}^{\tilde{N}+1}{D}_{ki}{{\boldsymbol{x}}}_{i}^{(j)}-{\boldsymbol{f}}\left({{\boldsymbol{x}}}_{i}^{(k)},{{\boldsymbol{u}}}_{i},{\nu }_{i,k}\right)=0\\ &{{\boldsymbol{x}}}_{n}^{(1)}={\widehat{{\boldsymbol{x}}}}_{n}\\ &{\beta }_{L}\leqslant{\left({{\boldsymbol{x}}}_{i}^{(j)}\right)}_{2},{\left({{\boldsymbol{x}}}_{i}^{(j)}\right)}_{3}\leqslant{\beta }_{U},{\tilde{F}}_{L}\leqslant{\left({{\boldsymbol{x}}}_{i}^{(j)}\right)}_{11},{\left({{\boldsymbol{x}}}_{i}^{(j)}\right)}_{12}\leqslant{\tilde{F}}_{U}\\&{\tilde{T}}_{L}\leqslant{\left({{\boldsymbol{x}}}_{i}^{(j)}\right)}_{13},{\left({{\boldsymbol{x}}}_{i}^{(j)}\right)}_{14}\leqslant{\tilde{T}}_{U}\end{aligned} \right.$
式中，$ {\boldsymbol{w}}_i^{(j)} $为LGR积分的权重，${D_{ki}} = {\boldsymbol{L}}_{i}^{(j)'}({v_k})$为$ \tilde N \times (\tilde N + 1) $LGR微分矩阵的元素，$ {\left( {{\boldsymbol{x}}_i^{(j)}} \right)_k} $为${\boldsymbol{x}}_i^{(j)}$的第$k$个元素。

2.2 PD控制方法

为调整子卫星位置，设计子卫星控制力${{\boldsymbol{F}}_{Ui}}$为：
$ {{\boldsymbol{F}}_{Ui}} = - {k_{pF}}({{\boldsymbol{x}}_i} - {{\boldsymbol{x}}_{id}}) - {k_{dF}}{\dot {\boldsymbol{x}}_i}{\text{ , }}i = 1,2 $
式中，$ {k_{pF}} $和$ {k_{dF}} $为控制增益系数，$ {{\boldsymbol{x}}_i} = {[{x_i}{\text{ }}{y_i}{\text{ }}{z_i}]^{\mathrm{T}}} $与$ {{\boldsymbol{x}}_{id}} = {[{x_{id}}{\text{ }}{y_{id}}{\text{ }}{z_{id}}]^{\mathrm{T}}} $分别表示子卫星$ {S_i}(i = 1,2) $的当前位置向量和期望位置向量，$ {\dot {\boldsymbol{x}}_i} = {[{\dot x_{id}}{\text{ }}{\dot y_{id}}{\text{ }}{\dot z_{id}}]^{\mathrm{T}}} $为子卫星${S_i}$的当前速度向量。
考虑实际工程中子卫星的控制力受限，引入饱和函数$ {\mathrm{sat}}\left( \cdot \right) $对控制力进行设计[29]：
$ {\mathrm{sat}}(F_{Ui,j})=\left\{\begin{aligned} & {\mathrm{sign}}(F_{Ui,j})\cdot F_{Ui,j\mathrm{max}} \ ,\ \left|F_{Ui,j}\right| > F_{Ui,j\mathrm{max}} \\ & F_{Ui,j}\ ，\qquad\qquad\qquad\ \ 其他 \end{aligned}\right. $
式中，$ {F_{Ui,j}}(j = 1,2,3) $为子卫星$ {S_i} $的控制力$ {{\boldsymbol{F}}_{Ui}} $在轨道坐标系中的三轴分量，$ {F_{Ui,j\max }} $为实际控制力上限。
为调整主卫星姿态，设计主卫星控制力矩$ {{\boldsymbol{M}}_U} $为：
$ {{\boldsymbol{M}}_U} = - {k_{pM}}{\text{(}}{{\boldsymbol{\psi}} _{M - T}} - {{\boldsymbol{\psi}} _d}) - {k_{dM}}{\dot {\boldsymbol{\psi}} _M} $
式中，$ {k_{pM}} $为控制增益系数，$ {{\boldsymbol{\psi}} _{M - T}} = {[\theta {\text{ }}\phi {\text{ }}0]^{\mathrm{T}}} $，$\theta $和$\phi $分别为系绳与主卫星的面内和面外夹角，$ {{\boldsymbol{\psi}} _d} = {[{\theta _d}{\text{ }}{\phi _d}{\text{ }}0]^{\mathrm{T}}} $，${\theta _d}$和${\phi _d}$分别表示系绳与主卫星面内面外夹角的期望值，$ {\dot {\boldsymbol{\psi}} _M} = {[{\omega _z}{\text{ }}{\omega _y}{\text{ }}{\omega _x}]^{\mathrm{T}}} $为主卫星角速度对于轴$ {O}_{b}{Z}_{b}、{O}_{b}{Y}_{b} $和${O_b}{X_b}$的分量。
与子卫星控制力相似，引入饱和函数${\mathrm{sat}}\left( \cdot \right)$对主卫星控制力矩最大值进行限制
$ {\mathrm{sat}}\text{(}{M}_{Ui})=\left\{\begin{aligned}& {\mathrm{sign}}({M}_{Ui})\cdot {M}_{Ui\mathrm{max}}\ ,\ \left|{M}_{Ui}\right| > {M}_{Ui\mathrm{max}}\\& {M}_{Ui}\ ，\qquad\qquad\qquad\ \text{其他}\end{aligned}\right. $
式中，$ {M_{Ui}}(i = 1,2,3) $为主卫星的控制力矩$ {{\boldsymbol{M}}_U} $在连体坐标系中的三轴分量，$ {M_{Ui\max }} $为实际控制力矩上限。

3 仿真算例

为了验证所提出的释放控制策略的有效性，本节将进行动力学仿真计算。假设在弹射阶段，由主卫星上的弹射机构提供子卫星所需的弹射力，使其获得0.168 m/s的弹射初速度。
THTSF系统物理参数设置如表1所示。NMPC控制器的参数设置如表2所示。PD控制器的参数设置如表3所示。
表 1 THTSF系统物理参数设置

Table 1 Physical parameter setting of the THTSF system

物理参数 数值
主卫星质量${m_{\mathrm{M}}}$/kg 100
子卫星质量${m_i}$/kg 10
主卫星惯性矩$[{J_x}{\text{ }}{J_y}{\text{ }}{J_z}]$/（kg·m2） $\left[ {1.6{\text{ }}1.6{\text{ }}1.6} \right]$
轨道半径$R$/km 6728
系绳拉伸刚度$EA$/N 105
系绳阻尼系数${c_t}$/s 0.01
系绳线密度$\rho $/（kg/m） 0.003
主卫星半径$r$/m 0.2
表 2 NMPC控制器的参数设置

Table 2 Parameters setting of the NMPC controller

控制参数 数值
权重系数$[{k_1}{\text{ }}{k_2}{\text{ }}{k_3}{\text{ }}{k_4}{\text{ }}{k_5}]$ $ \left[ {0.001{\text{ }}0.001{\text{ }}1{\text{ }}0.004{\text{ }}0.020} \right] $
期望无量纲绳长${\xi _d}$ 100
采样区间数量$N$ 20
采样区间间隔${\Delta _\tau }$ 0.2
配置点数量$\tilde N$ 4
系绳摆角约束$[{\beta _L},{\beta _U}]$ $[{{ - {\text π} } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {\text π} } 4}} \right. } 4},{{\text π} \mathord{\left/ {\vphantom {{\text π} 4}} \right. } 4}]$
无量纲系绳张力约束$[{\tilde T_L},{\tilde T_U}]$ [1,100]
无量纲侧向控制力约束$[{\tilde F_L},{\tilde F_U}]$ [−5,5]
表 3 PD控制器的参数设置

Table 3 Parameters setting of the PD controller

控制参数 数值
增益系数$[{k_{pF}}{\text{ }}{k_{dF}}{\text{ }}{k_{pM}}{\text{ }}{k_{dM}}]$ $ \left[ {0.1{\text{ }}1.0{\text{ }}0.2{\text{ }}2.0} \right] $
子卫星1期望位置${x_{1d}}$/m $[ - 20.2{\text{ }}0{\text{ }}0]$
子卫星2期望位置${x_{2d}}$/m $[20.2{\text{ }}0{\text{ }}0]$
系绳主卫星期望夹角$ {{\boldsymbol{\psi}} _d} $ $[0{\text{ }}{{\text π} \mathord{\left/ {\vphantom {{\text π} {2{\text{ }}0}}} \right. } {2{\text{ }}0}}]{\text{ }}$
子卫星控制力上限${F_{Ui,j\max }}$/mN 15
主卫星控制力矩上限${M_{Ui\max }}$/（mN·m） 18
图6−图11分别给出了弹射阶段（前20 s）系统主、子卫星的位置、速度、主卫星姿态角和主卫星与系绳夹角。其中，图9中的$ {\vartheta }_{MZ}、{\vartheta }_{MY} $和${\vartheta _{MX}}$分别指主卫星绕$ {O}_{b}{Z}_{b}、{O}_{b}{Y}_{b} $和${O_b}{X_b}$轴转动角度。可以看出，子卫星受到弹射力作用约0.19 s，并获得了约0.168 m/s的初速度。在弹射机构对主、子卫星相互作用阶段（前0.19 s），主卫星受到地球引力干扰力矩影响，使主卫星获得了约0.002（°）/s的微小姿态角速度。此外，在科里奥利加速度的作用下，子卫星存在垂直弹射方向的切向加速度，在20 s时，切向速度达到约0.008 m/s。
图 6 弹射阶段子卫星1位置

Fig.6 Position of sub-satellite 1 during ejection

图 7 弹射阶段子卫星2位置

Fig.7 Position of sub-satellite 2 during ejection

图 8 弹射阶段主卫星位置

Fig.8 Position of the main satellite during ejection

图 9 弹射阶段主卫星姿态角

Fig.9 Main satellite attitude angle during ejection

图 10 弹射阶段子卫星1速度

Fig.10 Speed of sub-satellite 1 during ejection

图 11 弹射阶段子卫星2速度

Fig.11 Speed of sub-satellite 2 during ejection

图12−图15分别给出了NMPC计算得到的THTSF系统的最优控制喷气力曲线与系统的部分响应曲线。可以看出，在选取的性能指标函数下，NMPC方法可在给定的300 s内平滑地释放子卫星至20 m距离。
图 12 NMPC计算子卫星侧向喷气力结果

Fig.12 Results of the sub-satellite's lateral jet force calculated by NMPC

图 13 NMPC计算系绳张力结果

Fig.13 Results of tether tension calculated by NMPC

图 14 NMPC计算系绳释放长度结果

Fig.14 Results of tether deployment length calculated by NMPC

图 15 NMPC计算系绳释放速率结果

Fig.15 Results of tether deployment rate calculated by NMPC

图16−图27分别给出了释放阶段（20~320 s）和调整阶段（320~520 s）子卫星位置、速度、系绳释放长度、释放速度、主卫星与系绳夹角、子卫星控制喷气力、主卫星姿态角和姿态角速度变化曲线。仿真结果表明，将NMPC方法计算得到的控制输入施加到珠点精细模型系统上，系绳可根据释放轨迹平滑地完成释放。同时，反馈控制器可以稳定调整系统位置，且使系统保持直线构型。
图 16 释放调整阶段子卫星1位置

Fig.16 Position of sub-satellite 1 during deployment and adjustment

图 17 释放调整阶段子卫星2位置

Fig.17 Position of sub-satellite 2 during deployment and adjustment

图 18 释放调整阶段子卫星1速度

Fig.18 Speed of sub-satellite 1 during deployment and adjustment

图 19 释放调整阶段子卫星2速度

Fig.19 Speed of sub-satellite 2 during deployment and adjustment

图 20 释放调整阶段主卫星与系绳1夹角

Fig.20 Angle between main satellite and tether 1 during deployment and adjustment

图 21 释放调整阶段主卫星与系绳2夹角

Fig.21 Angle between main satellite and tether 2 during deployment and adjustment

图 22 释放调整阶段系绳长度

Fig.22 Tether length during deployment and adjustment

图 23 释放调整阶段系绳张力

Fig.23 Tether tension during deployment and adjustment

图 24 释放调整阶段子卫星1喷气力

Fig.24 Jet force of sub-satellite 1 during deployment and adjustment

图 25 释放调整阶段子卫星2喷气力

Fig.25 Jet force of sub-satellite 2 during deployment and adjustment

图 26 释放调整阶段主卫星姿态角

Fig.26 Main satellite attitude angle during deployment and adjustment

图 27 释放调整阶段主卫星姿态角速度

Fig.27 Main satellite attitude angle velocity during deployment and adjustment

4 结 语

本文对THTSF系统释放过程的动力学与控制问题进行了深入研究。为进行动力学分析与控制器设计，构建了THTSF系统的两种动力学模型。考虑系绳释放过程中的非线性动力学与复杂限制条件，提出了一种非线性模型预测控制律，采用非线性规划算法计算得到了最优轨迹，以实现系绳的稳定释放。此外，通过反馈控制对控制误差进行修正，并调整系统构型。研究结果表明，所提出的控制策略可以稳定地实现系统释放。另外，所设计的闭环反馈控制器能够修正跟踪轨迹产生的误差，进而确保系统向期望构型位置的调整。
未来，绳系卫星编队技术有望为空间站工程和载人航天应用提供重要支撑。通过将多颗绳系卫星释放至空间站安全距离范围外进行编队协同工作，可以构建高精度的合成孔径探测系统，实现对于太空碎片的实时探测与跟踪。基于空间系绳的灵活性和精确的轨道控制能力，该系统能够快速响应碎片的动态变化，并进行精确测量，从而为空间站提供有效的碎片规避策略。此外，绳系卫星编队技术还可以扩展应用于深空探测。利用绳系编队系统对远距离天体进行成像和数据采集，可为未来的深空探测任务提供可靠支持。

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